PROOF 150
증명하라.
삼각형 넓이 공식은 직사각형에서 나온다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
△ABC 의 한 변 BC 를 밑변이라 하고 그 길이를 b 로 쓴다. A 에서 직선 BC 에 내린 수선의 발을 H, 그 AH 의 길이를 높이라 하고 h 로 쓴다.
증명.
(1)A 는 직선 BC 위에 있지 않으므로 수선의 발 H 가 유일하게 존재한다.A10
(2)도형 X 의 넓이를 [X] 로 쓴다. 다각형에는 넓이가 있다.A4, 약속
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보조정리 L1
∠Y 가 직각인 △XYZ 에서 YZ = p, YX = q 라 하면 [XYZ] = ½pq
증명.
(1)∠Y 는 직각이고 그 각을 낀 두 변은 YZ = p, YX = q 이다.가정
(2)그 두 변을 이웃한 두 변으로 하는 직사각형 XYZW 가 존재한다.(1), A5
(3)마주보는 변은 같으므로 XY = ZW, YZ = WX(2), A6
(4)대각선 XZ 는 두 삼각형에 공통이므로 세 변이 각각 같다. △XYZ ≅ △ZWX(3), A7
(5)대각선 XZ 가 만드는 △XYZ 와 △ZWX 는 겹치지 않고 직사각형 XYZW 를 채운다.(2), A8
(6)두 삼각형에 넓이가 있고 합동이므로 [XYZ] = [ZWX](4), A4, A2
(7)[XYZW] = [XYZ] + [ZWX] = 2[XYZ](5), (6), A3, A14
(8)직사각형의 이웃한 두 변이 p 와 q 이므로 [XYZW] = pq(2), (1), A1
(9)2[XYZ] = pq 이므로 [XYZ] = ½pq(7), (8), A14, E
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정리 T
밑변이 b 이고 그에 대한 높이가 h 인 삼각형 ABC 에 대하여 [ABC] = ½bh
증명.
(1)H 는 직선 BC 위에 있으므로, H ≠ B 이면 ∠AHB 는 직각이고 H ≠ C 이면 ∠AHC 는 직각이다.D1, A11
(2)H = B 이거나 H = C 이거나, H, B, C 는 직선 BC 위의 서로 다른 세 점이므로 그중 정확히 하나가 나머지 둘 사이에 있다. 이로써 다섯 경우가 전부다.D1, A13
(3)경우 1. H = B 이면 △ABC 는 B 에서 직각이고 그 각을 낀 두 변은 BC = b, BA = AH = h 이므로 [ABC] = ½bh(1), (2), L1
(4)경우 2. H = C 인 경우는 B 와 C 의 이름을 바꾸면 (3) 과 같다.(3)
(5)경우 3. H 가 B 와 C 사이에 있으면 BH + HC = b(2), A12
(6)선분 AH 는 △ABC 를 △ABH 와 △AHC 로 나누고, 두 삼각형은 겹치지 않고 △ABC 를 채운다.(5), A9
(7)두 삼각형은 H 에서 직각이고 그 각을 낀 두 변은 각각 BH 와 h, HC 와 h 이므로 [ABH] = ½·BH·h, [AHC] = ½·HC·h(1), (5), L1
(8)[ABC] = [ABH] + [AHC] = ½(BH + HC)h = ½bh(5), (6), (7), A3, A14
(9)경우 4. B 가 H 와 C 사이에 있으면 HB + b = HC(2), A12
(10)선분 AB 는 △AHC 를 △AHB 와 △ABC 로 나누고, 두 삼각형은 겹치지 않고 △AHC 를 채운다.(9), A9
(11)△AHB 와 △AHC 는 H 에서 직각이므로 [AHB] = ½·HB·h, [AHC] = ½·HC·h(1), (9), L1
(12)[AHC] = [AHB] + [ABC] 이므로 [ABC] = ½·HC·h − ½·HB·h = ½(HC − HB)h = ½bh(9), (10), (11), A3, A14, E
(13)경우 5. C 가 H 와 B 사이에 있는 경우는 B 와 C 의 이름을 바꾸면 (9)~(12) 와 같다.(12)
(14)다섯 경우 모두 [ABC] = ½bh(3), (4), (8), (12), (13)
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비고
A3 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
대각선이 직사각형을 두 조각으로 가른다는 것과, 그 조각이 직사각형의 절반이라는 것은 같은 말인가.