PROOF 151
증명하라.
사다리꼴 넓이 공식의 유도
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
볼록사각형 ABCD 에서 AB 와 DC 가 평행할 때 이를 사다리꼴이라 한다. AB = a, DC = b 라 하고, 평행한 두 직선 AB 와 DC 사이의 거리를 높이라 하고 h 로 쓴다.
증명.
(1)직선 AB 위 어느 점에서 직선 DC 까지의 거리가 모두 같으므로 h 는 하나로 정해진다.A3
(2)도형 X 의 넓이를 [X] 로 쓴다. 다각형에는 넓이가 있다.A6, 약속
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보조정리 L1
△ABC 의 밑변 AB 에 대한 높이와 △ACD 의 밑변 DC 에 대한 높이는 모두 h 이다.
증명.
(1)C 는 직선 DC 위에 있고 직선 DC 는 직선 AB 와 평행하므로, C 에서 직선 AB 까지의 거리는 h 이다.D1, A3
(2)그 거리가 곧 △ABC 의 밑변 AB 에 대한 높이이므로 그 높이는 h 이다.(1), A2
(3)A 는 직선 AB 위에 있으므로 같은 이유로 A 에서 직선 DC 까지의 거리는 h 이고, △ACD 의 밑변 DC 에 대한 높이도 h 이다.D1, A3, A2
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정리 T
윗변이 a, 아랫변이 b, 높이가 h 인 사다리꼴 ABCD 에 대하여 [ABCD] = ½(a + b)h
증명.
(1)대각선 AC 는 사다리꼴 ABCD 를 △ABC 와 △ACD 로 나누고, 두 삼각형은 겹치지 않고 사다리꼴을 채운다.D1, A4
(2)△ABC 의 밑변은 AB = a 이고 높이는 h 이므로 [ABC] = ½ah(1), D1, L1, A1
(3)△ACD 의 밑변은 DC = b 이고 높이는 h 이므로 [ACD] = ½bh(1), D1, L1, A1
(4)[ABCD] = [ABC] + [ACD] = ½ah + ½bh = ½(a + b)h(1), (2), (3), A5, A8, E
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따름정리 C
두 쌍의 대변이 각각 평행한 볼록사각형 ABCD 에서 DC = b 이고 높이가 h 이면 [ABCD] = bh
증명.
(1)AB 와 DC 가 평행하므로 ABCD 는 사다리꼴이다.가정, D1
(2)평행사변형의 마주보는 변은 같으므로 a = AB = DC = b(1), 가정, A7
(3)[ABCD] = ½(b + b)h = bh(1), (2), T, A8, E
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
사다리꼴을 두 조각으로 가르는 일과, 그 조각의 넓이를 수로 적는 일을 나누어 보라.