PROOF 18
증명하라.
이항은 정당하다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
방정식의 해집합은 그 식을 참으로 만드는 x 전체다.
증명.
(1)a + x = b 의 해집합은 { x : a + x = b } 다.약속
(2)두 방정식이 같은 해집합을 가지면 둘은 같은 물음이다.약속
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정의 D2
b − a 는 b + (−a) 를 뜻한다.
증명.
−a 의 존재는 A4 가 보장한다.A4
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보조정리 L1
a + x = b 이면 x = b − a
증명.
(1)a + x = b 라 하자.가정
(2)(a + x) + (−a) = b + (−a)(1), A4, E
(3)(a + x) + (−a) = (x + a) + (−a)A2
(4) = x + (a + (−a))A1
(5) = x + 0 = xA4, A3
(6)x = b + (−a) = b − a(2), (5), D2
∎
보조정리 L2
x = b − a 이면 a + x = b
증명.
(1)x = b − a = b + (−a) 라 하자.가정, D2
(2)a + x = a + (b + (−a))(1), E
(3) = a + ((−a) + b)A2
(4) = (a + (−a)) + bA1
(5) = 0 + b = bA4, A2, A3
(6)a + x = b(2), (5)
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정리 T1
a + x = b 의 해집합과 x = b − a 의 해집합은 같다.
증명.
(1)앞 식의 해는 모두 뒤 식의 해다.L1, D1
(2)뒤 식의 해는 모두 앞 식의 해다.L2, D1
(3)두 해집합은 서로를 포함한다.(1), (2)
(4)그러므로 두 해집합은 같다.(3), S
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정리 T2
양변에 0 을 곱하면 해집합이 커진다.
증명.
(1)x = d 의 해집합은 { d } 다.D1
(2)양변에 0 을 곱하여 0 × x = 0 × d 를 얻는다.E
(3)모든 x 에 대하여 0 × x = 0 이고 0 × d = 0 이다.A5
(4)그러므로 0 × x = 0 × d 의 해집합은 실수 전체다.(3), D1
(5)0 ≠ 1 이므로 d 와 다른 실수가 있다.A6
(6)해집합이 커졌다. 두 식은 같은 물음이 아니다.(1), (4), (5)
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이항이 규칙인지, 되돌릴 수 있는 조작의 결과인지 확인하라.