PROOF 52
증명하라.
지름 위의 원주각은 직각
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
중심 O, 반지름 r 인 원에서 AB 를 지름이라 하고, C 를 A, B 와 다른 원 위의 점이라 한다. ∠ACB 를 지름 위의 원주각이라 한다.
증명.
(1)O 는 선분 AB 의 내부에 있고 AO = OB = r약속
(2)C 는 직선 AB 위에 없으므로 A, B, C 는 삼각형을 이룬다.약속
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정리 T1
AB 가 지름이고 C 가 원 위의 점이면 ∠ACB = 90°
증명.
(1)OA = OB = OC = rD1, A1
(2)삼각형 OAC 에서 OA = OC 이므로 ∠OAC = ∠OCA. 이 값을 α 라 한다.(1), A2
(3)삼각형 OBC 에서 OB = OC 이므로 ∠OBC = ∠OCB. 이 값을 β 라 한다.(1), A2
(4)O 는 선분 AB 의 내부에 있으므로 반직선 CO 는 ∠ACB 의 내부에 있다.D1, A6
(5)∠ACB = ∠ACO + ∠OCB = α + β(4), A5, (2), (3)
(6)반직선 AO 는 반직선 AB 와 같고 반직선 BO 는 반직선 BA 와 같으므로 ∠CAB = α, ∠CBA = βD1, (2), (3)
(7)삼각형 ABC 에서 α + β + (α + β) = 180°(5), (6), A3
(8)2(α + β) = 180°(7), A8
(9)α + β = 90°(8), A8, E
(10)∠ACB = 90°(5), (9), E
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정리 T2
같은 결론을 51편의 원주각 정리로도 얻는다.
증명.
(1)∠ACB 는 C 를 포함하지 않는 호 AB 에 대한 원주각이고, 그 호는 반원이다.D1
(2)O 는 A 와 B 사이에 있으므로 그 호의 중심각은 ∠AOB = 180°D1, A4
(3)∠ACB = ½ × 180°(1), (2), A7
(4)∠ACB = 90°(3), A8
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비고
A7 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 정리는 같은 결론에 닿는다. 각각이 무엇에 기대는지 나누어 보라.