PROOF 152
증명하라.
원의 접선은 반지름과 수직이다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
중심 O, 반지름 r 인 원은 OP = r 인 점 P 전체다. 직선 ℓ 이 이 원과 정확히 한 점에서 만날 때 ℓ 을 접선이라 하고, 그 한 점을 접점이라 한다.
증명.
(1)접점 T 는 원 위의 점이므로 OT = rA1, 약속
(2)ℓ 위의 점 P 가 T 와 다르면 P 는 원 위에 있지 않으므로 OP ≠ rA1, 약속
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보조정리 L1
접선 ℓ 은 중심 O 를 지나지 않는다.
증명.
(1)O ∈ ℓ 이라 하자.가정
(2)중심을 지나는 직선은 원과 서로 다른 두 점에서 만나므로 ℓ 은 원과 두 점에서 만난다.(1), A2
(3)ℓ 은 원과 정확히 한 점에서 만나므로 이는 모순이다.(2), D1
(4)그러므로 O ∉ ℓ(3), R
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정리 T1
접선 ℓ 과 그 접점 T 에 대하여 OT ⊥ ℓ
증명.
(1)O ∉ ℓ 이므로 O 에서 ℓ 에 내린 수선의 발 H 가 유일하게 존재한다.L1, A3
(2)H ≠ T 라 하자.가정
(3)H 는 ℓ 을 두 반직선으로 나눈다. T 를 품지 않는 반직선 위에 HT′ = HT 인 점 T′ 을 잡는다.(1), (2), A5, A6
(4)T′ 은 ℓ 위에 있고, HT = HT′ > 0 이며 T 와 T′ 은 H 의 반대쪽에 있으므로 T′ ≠ T(2), (3), A5, A12
(5)H 는 O 에서 ℓ 에 내린 수선의 발이고 T, T′ 은 ℓ 위의 점이므로 ∠OHT = ∠OHT′ = 90°(1), (3), (4), A4
(6)OH 는 공통이고 HT = HT′ 이며 그 낀 각이 같으므로 △OHT ≅ △OHT′(3), (5), A7
(7)합동이므로 OT′ = OT = r(6), A8, D1
(8)T′ 은 원 위에 있고 ℓ 위에 있으며 T 와 다르므로 ℓ 은 원과 두 점에서 만난다.(4), (7), A1
(9)ℓ 은 원과 정확히 한 점에서 만나므로 이는 모순이다. 그러므로 H = T(8), D1, R
(10)H 는 O 에서 ℓ 에 내린 수선의 발이므로 OT ⊥ ℓ(1), (9)
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정리 T2
원 위의 점 T 에서 OT 에 수직인 직선 ℓ 은 그 원의 접선이고 T 는 그 접점이다.
증명.
(1)T 는 원 위의 점이므로 OT = r가정, A1
(2)ℓ 위의 점 P 가 T 와 다르다 하자. OT ⊥ ℓ 이고 T 는 그 수선의 발이므로 ∠OTP = 90°가정, A4
(3)직각삼각형 OTP 의 빗변은 OP 이므로 OP² = OT² + TP²(2), A9
(4)P ≠ T 이므로 TP > 0 이고 TP² > 0 이며 OP² > OT² = r²(1), (2), (3), A12, A10
(5)길이는 음이 아니므로 OP > r(4), A11, A12
(6)OP ≠ r 이므로 P 는 원 위에 있지 않다. 곧 ℓ 은 원과 T 에서만 만난다.(5), A1
(7)그러므로 ℓ 은 접선이고 T 는 접점이다.(6), D1
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비고
A9 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 정리는 방향이 반대다. 각각이 무엇을 보여야 하는지 — 한 점이 어긋난다는 것과 모든 점이 밖에 있다는 것 — 을 나누어 보라.