PROOF 142
증명하라.
치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 읽은 것이다
닫힌 구간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
G 가 어떤 구간에서 h 의 원시함수라는 것은, 그 구간의 모든 점에서 G′ = h 임을 뜻한다.
증명.
(1)이 정의는 그러한 G 가 있다고 주장하지 않는다. 있으면 그렇게 부를 뿐이다.약속
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정의 D2
h 의 부정적분 ∫h(x)dx 는 h 의 원시함수 전체를 뜻한다. G 가 그중 하나일 때 ∫h(x)dx = G(x) + C 로 쓰고, C 는 임의의 상수를 나타낸다.
증명.
(1)임의의 상수 c 에 대하여 (G + c)′ = G′ = h 이므로 G + c 도 원시함수다.A3, D1
(2)역으로 H 가 원시함수이면 H′ = G′ 이므로 H − G 는 상수다.D1, A2
(3)그러므로 원시함수 전체는 정확히 G + C 꼴이다. 등식의 양변은 함수가 아니라 함수의 모임이다.(1), (2)
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보조정리 L1
F′ = f 이고 g 가 미분가능하면 [F(g(x))]′ = f(g(x)) · g′(x) 이다.
증명.
(1)연쇄법칙에 의하여 [F(g(x))]′ = F′(g(x)) · g′(x) 이다.가정, A1
(2)F′ = f 는 모든 점에서의 등식이므로 F′(g(x)) = f(g(x)) 이다.가정, E
(3)(2) 를 (1) 에 넣으면 [F(g(x))]′ = f(g(x)) · g′(x) 이다.(1), (2), E
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정리 T1
F 가 f 의 원시함수이고 g 가 미분가능하면 ∫ f(g(x)) g′(x) dx = F(g(x)) + C 이다.
증명.
(1)[F(g(x))]′ = f(g(x))g′(x) 이다.가정, L1
(2)그러므로 F∘g 는 f(g(x))g′(x) 의 원시함수다.(1), D1
(3)부정적분은 원시함수 전체이므로 ∫f(g(x))g′(x)dx = F(g(x)) + C 이다.(2), D2
(4)한편 F 는 f 의 원시함수이므로 ∫f(u)du = F(u) + C 이다.가정, D1, D2
(5)u 자리에 g(x) 를 넣으면 (3) 의 우변과 같다. 곧 ∫f(g(x))g′(x)dx 는 ∫f(u)du 에 u = g(x) 를 넣은 것이다.(3), (4), E
(6)g′(x)dx 를 함께 가져가는 것은 표기의 약속이 아니다. 그것이 없으면 (1) 이 성립하지 않는다.(1), (5)
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따름정리 C
f 가 연속이고 g 가 미분가능하며 g′ 이 [a,b] 에서 연속이면 ∫ₐᵇ f(g(x)) g′(x) dx = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(u) du 이다.
증명.
(1)f∘g 는 연속이고 g′ 도 연속이므로 f(g(x))g′(x) 는 [a,b] 에서 연속이고 적분가능하다.가정, A6, A7
(2)f 가 연속이므로 F(u) = ∫_{g(a)}^{u} f(t)dt 는 f 의 원시함수다.가정, A4, D1
(3)T1 에 의하여 F∘g 는 f(g(x))g′(x) 의 원시함수다.(2), 가정, T1, D1
(4)기본정리를 [a,b] 에서 쓰면 ∫ₐᵇ f(g(x))g′(x)dx = F(g(b)) − F(g(a)) 이다.(1), (3), A5
(5)기본정리를 F 에 쓰면 ∫_{g(a)}^{g(b)} f(u)du = F(g(b)) − F(g(a)) 이다.(2), 가정, A5
(6)g(a) > g(b) 인 경우에도 약속 ∫ᵤᵛ f = −∫ᵥᵘ f 에 의해 (5) 는 그대로 성립한다.약속, (5), A5
(7)두 값이 같으므로 ∫ₐᵇ f(g(x))g′(x)dx = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(u)du 이다.(4), (5), (6), E
(8)위끝과 아래끝이 바뀐 이유는 (5) 에 있다. F 에 들어간 것은 a 와 b 가 아니라 g(a) 와 g(b) 이다.(5), (7)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
A1 은 L1 의 (1) 에서 단 한 번 쓰인다. 그 한 줄을 빼고 남는 것을 세어 보라.