PROOF 103
증명하라.
제곱하면 가짜 근이 생긴다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
방정식의 해집합은 그 식을 참으로 만드는 x 전체다.
증명.
(1)A(x) = B(x) 의 해집합을 S 라 한다.약속
(2)A(x)² = B(x)² 의 해집합을 S′ 라 한다.약속
(3)A(x) = −B(x) 의 해집합을 S⁻ 라 한다.약속
(4)세 해집합은 A 와 B 가 모두 값을 갖는 x 안에서 센다.약속
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보조정리 L1
A(x) = B(x) 이면 A(x)² = B(x)²
증명.
(1)A(x) = B(x) 라 하자.가정
(2)양변에 같은 수를 곱하면 A(x)² = B(x)² 이다.(1), E
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보조정리 L2
S′ ⊆ S ∪ S⁻
증명.
(1)x ∈ S′ 라 하자. 그러면 A(x)² = B(x)² 이다.가정, D1
(2)A(x) = B(x) 이거나 A(x) = −B(x) 이다.(1), A2
(3)그러므로 x ∈ S 이거나 x ∈ S⁻ 이다.(2), D1
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보조정리 L3
S ∪ S⁻ ⊆ S′
증명.
(1)x ∈ S 이면 A(x)² = B(x)² 이므로 x ∈ S′ 이다.L1, D1
(2)x ∈ S⁻ 라 하자. 그러면 A(x) = −B(x) 이다.가정, D1
(3)A(x)² = (−B(x))²(2), L1
(4)(−B(x))² = B(x)²A1
(5)A(x)² = B(x)² 이므로 x ∈ S′ 이다.(3), (4), D1
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정리 T1
S ⊆ S′. 제곱해도 해를 잃지 않는다.
증명.
(1)x ∈ S 라 하자. 그러면 A(x) = B(x) 이다.가정, D1
(2)A(x)² = B(x)² 이므로 x ∈ S′ 이다.(1), L1, D1
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정리 T2
S′ = S ∪ S⁻. 늘어난 해는 A = −B 의 해다.
증명.
(1)S′ ⊆ S ∪ S⁻L2
(2)S ∪ S⁻ ⊆ S′L3
(3)두 집합은 서로를 포함하므로 같다.(1), (2), A9
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정리 T3
S ⊊ S′ 인 예가 있다.
증명.
(1)√(x + 2) = x 를 본다. 두 변은 x + 2 ≥ 0 인 x 에서 값을 갖는다.A3, D1
(2)양변을 제곱한 식은 x + 2 = x² 이다.(1), A3, D1
(3)x = −1 일 때 x + 2 = 1 이다.N2
(4)(−1)² = 1² = 1A1, N3
(5)그러므로 −1 은 제곱한 식의 해다.(3), (4), D1
(6)x = −1 일 때 √(x + 2) = √1 = 1 이고 1 ≠ −1 이다.(3), A3, N3
(7)그러므로 −1 은 원래 식의 해가 아니다.(6), D1
(8)x = 2 일 때 x + 2 = 4 이고 √4 = 2 이므로 2 는 원래 식의 해다.N1, A3, D1
(9)S 는 비어 있지 않고 −1 은 S′ 에 있으나 S 에 없다.(5), (7), (8)
(10)그러므로 S ⊊ S′ 이다.(9), T1
(11)√(−1 + 2) = 1 = −(−1) 이므로 −1 은 S⁻ 에 있다. L2 가 말한 자리다.(6), N2, D1, L2
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따름정리 C
모든 x 에서 A(x) ≥ 0 이고 B(x) ≥ 0 이면 S = S′
증명.
(1)0 ≤ A(x) 이고 0 ≤ B(x) 라 하자.가정
(2)x ∈ S⁻ 라 하자. 그러면 A(x) = −B(x) 이다.가정, D1
(3)0 < B(x) 라면 0 + (−B(x)) < B(x) + (−B(x)) 이다.A5
(4)좌변은 −B(x), 우변은 0 이므로 −B(x) < 0 이다.(3), A8, A7, A6
(5)그러면 A(x) < 0 이고, 이는 0 ≤ A(x) 와 삼분법에 어긋난다.(1), (2), (4), A4
(6)그러므로 B(x) = 0 이다.(1), (5), A4
(7)−0 = 0 이므로 A(x) = 0 = B(x) 이다.(2), (6), A6, A7, A8
(8)그러므로 x ∈ S 이고 S⁻ ⊆ S 이다.(7), D1
(9)S′ ⊆ S ∪ S⁻ ⊆ SL2, (8)
(10)S ⊆ S′ 이므로 두 집합은 같다.(9), T1, A9
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
제곱이 해를 잃지 않는 것과 해를 늘리는 것은 서로 다른 줄에서 나온다. 어느 쪽이 부호를 쓰는지 보라.