PROOF 186
증명하라.
유효숫자는 곱셈에서 늘지 않는다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
측정값은 x̃ = x(1 + δ) 로 쓴다. x 는 참값, δ 는 상대오차다. 측정이 보장하는 것은 |δ| ≤ ε 이고, 이 ε ≥ 0 을 상대오차 한계라 한다.
증명.
참값 x 와 오차의 실제 값 δ 는 알 수 없다. 아는 것은 한계 ε 하나다.약속
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정의 D2
유효숫자 n 자리는 상대오차 한계 ε ≤ 5 × 10⁻ⁿ 의 자릿수 표현이다.
증명.
(1)첫 유효숫자부터 n 자리로 반올림하면, 오차는 마지막 자리의 반을 넘지 않는다 — 상대오차로 5 × 10⁻ⁿ 이하다.약속
(2)유효숫자가 한 자리 늘 때마다 ε 는 10 분의 1 이 된다. 자릿수는 ε 의 크기를 나타내는 눈금이다.(1)
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보조정리 L1
곱 x̃ỹ 의 상대오차는 δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂ 이다.
증명.
(1)x̃ = x(1 + δ₁), ỹ = y(1 + δ₂) 로 쓴다.D1
(2)x̃ỹ = xy(1 + δ₁)(1 + δ₂)(1), A3, E
(3)(1 + δ₁)(1 + δ₂) = 1 + δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂A4, A2
(4)x̃ỹ = xy(1 + (δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂))(2), (3), E
(5)D1 의 꼴이므로, 곱의 상대오차는 δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂ 이다.(4), D1
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정리 T1
곱의 상대오차 한계는 ε₁ + ε₂ + ε₁ε₂ 이다.
증명.
(1)|δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂| ≤ |δ₁| + |δ₂| + |δ₁δ₂|L1, A6
(2)|δ₁δ₂| = |δ₁||δ₂|A7
(3)|δ₁| ≤ ε₁, |δ₂| ≤ ε₂D1
(4)|δ₁||δ₂| ≤ ε₁ε₂(2), (3), A7, A9
(5)|δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂| ≤ ε₁ + ε₂ + ε₁ε₂(1), (3), (4), A8, A11
(6)그러므로 ε₁ + ε₂ + ε₁ε₂ 는 곱의 상대오차 한계다.(5), D1
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정리 T2
이 한계는 줄일 수 없다. 보장할 수 있는 상대오차 한계는 ε₁ + ε₂ + ε₁ε₂ 아래로 내려가지 못하고, 특히 max(ε₁, ε₂) 보다 작지 않다.
증명.
(1)알려진 것은 |δᵢ| ≤ εᵢ 뿐이므로, δ₁ = ε₁, δ₂ = ε₂ 인 경우를 제외할 수 없다.A10
(2)그 경우 곱의 상대오차는 ε₁ + ε₂ + ε₁ε₂ — T1 의 한계에 실제로 도달한다.(1), L1, T1
(3)0 ≤ ε₂ 이고 0 ≤ ε₁ε₂ 이므로 ε₁ = ε₁ + 0 + 0 ≤ ε₁ + ε₂ + ε₁ε₂.D1, A9, A5, A1, A8
(4)같은 계산이 ε₂ 에도 성립한다. 한계는 max(ε₁, ε₂) 보다 작지 않다.(2), (3)
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따름정리 C
곱의 유효숫자는 두 인자 중 적은 쪽을 넘지 못한다.
증명.
(1)유효숫자의 자릿수는 상대오차 한계가 정한다. ε 가 큰 쪽이 자릿수가 적은 쪽이다.D2
(2)곱의 상대오차 한계는 max(ε₁, ε₂) 보다 작지 않다.T2
(3)그러므로 곱의 자릿수는 ε 가 큰 쪽 — 유효숫자가 적은 쪽 — 을 넘지 못한다.(1), (2), D2
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비고
A10 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
한계 자체(T1)와 한계에 도달한다는 것(T2)은 다른 주장이다. A10 이 실제로 쓰이는 자리를 확인하라.