증명하라.

반올림 오차는 반 칸을 넘지 않는다

실수 ℝ 위에서.

한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다

먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.

정의 D1

x 의 정수 부분을 n 이라 한다. x − n < 1/2 이면 round(x) = n, x − n ≥ 1/2 이면 round(x) = n + 1 이다.

증명.

(1)n ≤ x < n+1 인 정수 n 이 존재한다.A1

(2)n ≤ x < n+1 이고 m ≤ x < m+1 인 정수 n, m 이 있다면 n = m 이다. n < m 이면 n+1 ≤ m ≤ x 가 되어 x < n+1 에 어긋나기 때문이다.A2, A3, A5

(3)x − n < 1/2 과 x − n ≥ 1/2 가운데 정확히 하나가 성립한다.A3

(4)그러므로 round(x) 는 모든 실수 x 에 대하여 하나의 값으로 정해진다.(1), (2), (3)

∎

보조정리 L1

x 의 정수 부분을 n 이라 하면 0 ≤ x − n < 1

증명.

(1)n ≤ x < n+1D1, A1

(2)세 변에 −n 을 더하면 0 ≤ x − n < 1(1), A4

∎

정리 T

모든 실수 x 에 대하여 |x − round(x)| ≤ 1/2

증명.

(1)n 을 x 의 정수 부분이라 하고 t = x − n 이라 하자.D1

(2)0 ≤ t < 1(1), L1

(3)0 < 1/2 의 양변에 −1/2 을 더하면 −1/2 < 0A7, A4

(4)t < 1/2 이라 하자.가정

(5)round(x) = n 이므로 x − round(x) = t(1), (4), D1

(6)−1/2 < 0 ≤ t 이고 t < 1/2 이므로 −1/2 ≤ t ≤ 1/2(2), (3), (4), A5, A6

(7)t ≥ 1/2 이라 하자.가정

(8)round(x) = n + 1 이므로 x − round(x) = t − 1(1), (7), D1

(9)1/2 ≤ t 의 양변에 −1 을 더하면 −1/2 ≤ t − 1(7), A4

(10)t < 1 의 양변에 −1 을 더하면 t − 1 < 0(2), A4

(11)t − 1 < 0 < 1/2 이므로 −1/2 ≤ t − 1 ≤ 1/2(9), (10), A5, A6, A7

(12)두 경우는 남김없이 나뉘므로 언제나 −1/2 ≤ x − round(x) ≤ 1/2(5), (6), (8), (11), A3

(13)|x − round(x)| ≤ 1/2(12), A8

∎

비고

A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.

반올림은 가장 가까운 눈금을 묻는다. 그런 눈금이 언제나 있다는 것은 어디서 오는가.