PROOF 05
증명하라.
순환소수는 분수로 쓸 수 있다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
0.ḂḂ… 의 값은 부분합 수열 (Sₙ) 의 극한이다.
증명.
(1)B 는 k 자리 순환마디, N 은 그 자리들이 만드는 정수, Sₙ = N·10⁻ᵏ + N·10⁻²ᵏ + … + N·10⁻ⁿᵏ 이다.약속
(2)이 수열이 하나의 실수로 다가간다는 것은 A1이 보장한다.A1
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보조정리 L1
모든 n 에 대하여 (10ᵏ − 1)Sₙ = N(1 − 10⁻ⁿᵏ)
증명.
(1)Sₙ = N·10⁻ᵏ + N·10⁻²ᵏ + … + N·10⁻ⁿᵏ약속
(2)10ᵏSₙ = N + N·10⁻ᵏ + … + N·10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ᵏ(1), A5, A6, E
(3)10ᵏSₙ = N + Sₙ − N·10⁻ⁿᵏ(1), (2)
(4)(10ᵏ − 1)Sₙ = N − N·10⁻ⁿᵏ(3), A6, E
(5)(10ᵏ − 1)Sₙ = N(1 − 10⁻ⁿᵏ)(4), A6
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정리 T1
0.ḂḂ… = N / (10ᵏ − 1)
증명.
(1)x = 0.ḂḂ… = lim SₙD1
(2)(10ᵏ − 1)Sₙ = N − N·10⁻ⁿᵏL1, A6
(3)lim[(10ᵏ − 1)Sₙ] = (10ᵏ − 1)x(1), A3
(4)lim[N − N·10⁻ⁿᵏ] = N − N·lim 10⁻ⁿᵏA2, A3
(5)lim 10⁻ⁿᵏ = 0A4
(6)lim[N − N·10⁻ⁿᵏ] = N(4), (5), A7
(7)(10ᵏ − 1)x = N(2), (3), (6), E
(8)순환마디의 길이 k 는 1 이상이므로 10ᵏ − 1 ≥ 9약속
(9)x = N / (10ᵏ − 1)(7), (8), E
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따름정리 C
소수점 아래 m 자리 뒤부터 순환하는 소수도 분수로 쓸 수 있다.
증명.
(1)x 의 순환이 소수점 아래 m 자리 뒤부터 시작한다고 하자.가정
(2)10ᵐx = lim(10ᵐSₙ)D1, A3
(3)10ᵐSₙ = A + Tₙ 이다. A 는 처음 m 자리가 만드는 정수, Tₙ 은 순환 부분의 부분합이다.A5, A6, 약속
(4)10ᵐx = A + y, y = lim Tₙ(2), (3), A2, D1
(5)y = N / (10ᵏ − 1)T1
(6)x = (A(10ᵏ − 1) + N) / (10ᵐ(10ᵏ − 1))(4), (5), E
(7)분자와 분모가 모두 정수이고 분모는 0 이 아니다.(6)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
x = 0.333… 으로 두고 10x − x 를 계산하는 흔한 풀이는 어느 공리를 말없이 쓰고 있는가.