PROOF 42
증명하라.
몫의 미분법
미분가능한 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을, g² 은 g · g 를 뜻한다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A5
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보조정리 L1
g 가 x 에서 미분가능하고 g(x) ≠ 0 이면, 0 < |h| < δ 인 모든 h 에서 g(x+h) ≠ 0 이 되는 δ > 0 이 존재한다.
증명.
(1)g 는 x 에서 미분가능하므로 lim (h→0) g(x+h) = g(x)가정, A7
(2)g(x) ≠ 0 이므로 |g(x)| > 0 이다.가정, A9
(3)ε = |g(x)| 로 두면, 0 < |h| < δ 이면 |g(x+h) − g(x)| < |g(x)| 인 δ > 0 이 있다.(1), (2), A6
(4)g(x+h) = 0 이라면 |g(x+h) − g(x)| = |−g(x)| = |g(x)| 이고, 이는 (3) 에 모순이다.(3), A9, A15
(5)그러므로 0 < |h| < δ 이면 g(x+h) ≠ 0 이다.(4)
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보조정리 L2
g 가 x 에서 미분가능하고 g(x) ≠ 0 이면 1/g 도 x 에서 미분가능하고 (1/g)′(x) = −g′(x)/g(x)² 이다.
증명.
(1)g 가 x 에서 미분가능하고 g(x) ≠ 0 이라 하자.가정, D1
(2)0 < |h| < δ 이면 g(x+h) ≠ 0 이고, 따라서 g(x+h)g(x) ≠ 0 이다.L1, A17
(3)그러한 h 에서 1/g(x+h) − 1/g(x) = [g(x) − g(x+h)] · [g(x+h)g(x)]⁻¹ = −[g(x+h) − g(x)] · [g(x+h)g(x)]⁻¹(2), A18, A13, A11, A12, A14, A10, A16
(4)양변에 h⁻¹ 을 곱하면 [1/g(x+h) − 1/g(x)]/h = −{[g(x+h) − g(x)]/h} · [g(x+h)g(x)]⁻¹(3), E, A11, A12, A16
(5)lim (h→0) [g(x+h) − g(x)]/h = g′(x)(1), D1
(6)lim (h→0) g(x+h) = g(x)(1), A7
(7)lim (h→0) [g(x+h)g(x)]⁻¹ = 1/[g(x)g(x)] = 1/g(x)² (분모의 극한은 0 이 아니다)(6), A1, A4, A2
(8)(4) 의 양변에 극한을 취하면 lim (h→0) [1/g(x+h) − 1/g(x)]/h = −g′(x) · 1/g(x)²(4), (5), (7), E, A1, A3
(9)그러므로 (1/g)′(x) = −g′(x)/g(x)² 이다.(8), D1
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정리 T1
f 와 g 가 x 에서 미분가능하고 g(x) ≠ 0 이면 f/g 도 x 에서 미분가능하고 (f/g)′(x) = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / g(x)² 이다.
증명.
(1)f/g 는 f · (1/g) 를 뜻한다.약속
(2)L2 에 의하여 1/g 는 x 에서 미분가능하고 (1/g)′ = −g′/g² 이다.L2
(3)곱의 미분법을 f 와 1/g 에 적용하면 (f · 1/g)′ = f′ · (1/g) + f · (1/g)′(1), (2), A8
(4) = f′ · g⁻¹ + f · (−g′ · (g²)⁻¹)(3), (2)
(5)f′ · g⁻¹ = f′ · g · g⁻¹ · g⁻¹ = f′g · (g²)⁻¹A13, A11, A12, A14, A18
(6)그러므로 (f/g)′ = [f′g − fg′] · (g²)⁻¹ = (f′g − fg′)/g² 이다.(4), (5), A10, A11, A12, A16
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비고
A7 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
가정은 g(x) ≠ 0 하나뿐이다. 그런데 (3) 은 g(x+h) 로도 나눈다. 그 분모가 0 이 아니라는 근거가 어디에 있는지 확인하라.