정의 D1
자료를 크기순으로 늘어놓은 것을 x₍₁₎ ≤ ⋯ ≤ x₍ₙ₎ 이라 한다. n 이 홀수이면 가운데 값을, 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 중앙값이라 한다.
증명.
(1)삼분법과 추이성에 의해 이러한 늘어놓음이 존재하고, j 번째 자리의 값은 하나로 정해진다.A1, A2
(2)n 이 짝수일 때 가운데 두 값의 평균을 쓰기로 한 것은 계산의 결과가 아니라 약속이다.A4, 약속
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보조정리 L1
자료 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 에서, 자기보다 작은 자료가 2 개이고 자기보다 큰 자료가 6 개인 값 Q 는 2 < Q < 3 인 값들이며 그것뿐이다.
증명.
(1)2 < Q < 3 이라 하자. Q 보다 작은 자료는 1 과 2 뿐이므로 2 개다.가정, N
(2)같은 가정에서 Q 보다 큰 자료는 3, 4, 5, 6, 7, 8 뿐이므로 6 개다.가정, N
(3)Q ≤ 2 라 하자. 그러면 Q 보다 작은 자료는 많아야 1 이므로 많아야 1 개다.가정, A2, N
(4)3 ≤ Q 라 하자. 그러면 Q 보다 큰 자료는 많아야 4, 5, 6, 7, 8 이므로 많아야 5 개다.가정, A2, N
(5)삼분법에 의해 Q ≤ 2, 2 < Q < 3, 3 ≤ Q 의 세 경우뿐이고, 조건을 만족하는 것은 가운데 경우뿐이다.(1), (2), (3), (4), A1
(6)조밀성에 의해 2 와 3 사이에는 값이 언제나 또 있다. 그러므로 이 조건은 값을 하나로 정하지 않는다.(5), A3
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정의 D2
정의 ① 절반 방법. 자료를 중앙값 자리에서 둘로 나누되 n 이 홀수이면 가운데 값을 어느 쪽에도 넣지 않는다. 아래 절반의 중앙값을 Q₁ 이라 한다.
증명.
이 정의는 중앙값을 두 번 쓰는 방식이며, 가운데 값을 아래 절반에 넣는 갈래도 따로 있다.K, D1
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정의 D3
정의 ② 보간 방법. p = 1 + (n − 1)·4⁻¹ 로 두고 p = k + t (k 는 정수, 0 ≤ t < 1) 라 할 때 Q₁ = x₍ₖ₎ + t(x₍ₖ₊₁₎ − x₍ₖ₎) 이라 한다.
증명.
이 정의는 첫 자리를 0, 마지막 자리를 1 로 보고 그 사이의 4 분의 1 지점을 잡는다.K, D1
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정의 D4
정의 ③ 보간 방법. p = (n + 1)·4⁻¹ 로 두고 나머지는 D3 과 같게 한다.
증명.
이 정의는 자료의 양 끝 바깥에 자리 하나씩이 더 있다고 보고 4 분의 1 지점을 잡는다.K, D1
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정리 T1
자료 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 에서 세 정의는 서로 다른 세 값을 준다.
증명.
(1)n = 8 이고 자료는 이미 크기순이다.가정, D1, N
(2)D2 에서 아래 절반은 1, 2, 3, 4 이고 그 중앙값은 (2 + 3)·2⁻¹ = 2.5 이므로 Q₁ = 2.5(1), D2, D1, A4, N
(3)D3 에서 p = 1 + 7·4⁻¹ = 2.75 이므로 k = 2, t = 0.75 이고 Q₁ = 2 + 0.75(3 − 2) = 2.75(1), D3, N
(4)D4 에서 p = 9·4⁻¹ = 2.25 이므로 k = 2, t = 0.25 이고 Q₁ = 2 + 0.25(3 − 2) = 2.25(1), D4, N
(5)2.5, 2.75, 2.25 는 서로 다른 세 값이다.(2), (3), (4), N
(6)세 값 모두 2 보다 크고 3 보다 작으므로 L1 의 조건을 만족한다. 어느 것도 조건을 어기지 않는다.(5), L1, N
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정리 T2
자료가 달라지면 어느 둘이 맞아떨어지는지도 달라진다.
증명.
(1)자료 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 를 보자. n = 9 이고 중앙값은 다섯 번째 값 5 이다.가정, D1, N
(2)D2 에서 가운데 값 5 를 뺀 아래 절반은 1, 2, 3, 4 이고 그 중앙값은 2.5 이므로 Q₁ = 2.5(1), D2, A4, N
(3)D3 에서 p = 1 + 8·4⁻¹ = 3 이므로 t = 0 이고 Q₁ = x₍₃₎ = 3(1), D3, N
(4)D4 에서 p = 10·4⁻¹ = 2.5 이므로 k = 2, t = 0.5 이고 Q₁ = 2 + 0.5(3 − 2) = 2.5(1), D4, N
(5)n = 8 에서는 세 값이 모두 달랐고, n = 9 에서는 D2 와 D4 가 같고 D3 만 다르다.T1, (2), (3), (4)
(6)한편 이 자료에서 자기보다 작은 자료가 2 개이고 큰 자료가 6 개인 값은 Q = 3 하나뿐이다.A1, N
(7)나눔의 자리가 자료값 사이에 놓이는지 자료값 위에 놓이는지는 n 이 정하고, 그에 따라 정의들의 갈림도 달라진다.(5), (6), L1
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정리 T3
Q₁ 은 자료가 정하는 수가 아니다. 정의를 고른 뒤에야 수가 된다.
증명.
(1)L1 에 의해 1 : 3 으로 나누는 자리는 하나가 아니라 2 와 3 사이의 모든 값이다.L1
(2)그러므로 자료만으로는 Q₁ 이 하나의 수로 정해지지 않는다.(1)
(3)세 정의는 그 사이에서 각각 2.5, 2.75, 2.25 를 고른다.T1
(4)세 값 모두 조건을 만족하므로, 이 가운데 어느 하나를 다른 것보다 옳다고 판정할 근거가 자료 안에 없다.(3), L1
(5)고르는 규칙은 자료가 아니라 세는 사람이 정한 것이다.D2, D3, D4, K
(6)그러므로 「Q₁ 은 얼마인가」는 어느 정의를 쓰는지 밝히기 전에는 답이 정해지지 않는 물음이다.(2), (4), (5)
(7)통계 프로그램이 같은 자료에서 서로 다른 Q₁ 을 내놓는 것은 계산이 틀려서가 아니라 서로 다른 약속을 쓰기 때문이다.(6), T2
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따름정리 C
그러므로 사분위수는 증명할 정리가 아니라 고를 약속이다.
증명.
(1)정리는 주어진 것에서 답이 하나로 따라 나오는 것이고, 약속은 답을 하나로 만들기 위해 더 얹는 것이다.약속
(2)L1 에 의해 자료가 주는 것은 구간이지 수 하나가 아니다.L1
(3)그러므로 Q₁ 을 하나의 수로 만들려면 무엇인가를 더 얹어야 하고, 그 얹는 것이 정의다.(1), (2)
(4)중앙값도 같은 자리에 있다. n 이 짝수이면 가운데가 두 값 사이에 놓이고, 그 둘의 평균으로 정한 것은 증명이 아니라 약속이다.D1, A4
(5)사분위수에서 약속이 눈에 띄는 것은 살아남은 갈래가 하나가 아니기 때문이다.(3), T1, T2
(6)그러므로 사분위수를 말할 때에는 값과 함께 어느 약속을 썼는지를 말해야 한다.(5), T3
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