PROOF 41
증명하라.
곱의 미분법
미분가능한 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A4
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보조정리 L1
항등함수 e(x) = x 는 모든 x 에서 미분가능하고 e′(x) = 1 이다.
증명.
(1)h ≠ 0 이면 [(x + h) − x] · h⁻¹ = h · h⁻¹ = 1A11, A12, A13, A14, A9
(2)lim (h→0) 1 = 1A3
(3)그러므로 e′(x) = 1 이다.(1), (2), D1
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정리 T1
f 와 g 가 x 에서 미분가능하면 fg 도 x 에서 미분가능하고 (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) 이다.
증명.
(1)f 와 g 가 x 에서 미분가능하다고 하자.가정, D1
(2)f(x+h)g(x) + (−f(x+h)g(x)) = 0 이므로 이 두 항을 더해도 값은 변하지 않는다.A13, A14
(3)f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x) = [f(x+h)g(x+h) − f(x+h)g(x)] + [f(x+h)g(x) − f(x)g(x)](2), A11, A12
(4) = f(x+h)[g(x+h) − g(x)] + [f(x+h) − f(x)]g(x)(3), A6, A8
(5)h ≠ 0 이면 양변에 h⁻¹ 을 곱하여 [f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x)]/h = f(x+h) · [g(x+h) − g(x)]/h + [f(x+h) − f(x)]/h · g(x)(4), E, A6, A7, A8
(6)lim (h→0) [g(x+h) − g(x)]/h = g′(x), lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h = f′(x)(1), D1
(7)lim (h→0) g(x) = g(x)A3
(8)f 는 x 에서 미분가능하므로 lim (h→0) f(x+h) = f(x)(1), A5
(9)(5) 의 양변에 극한을 취하면 lim (h→0) [f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x)]/h = f(x)g′(x) + f′(x)g(x)(5), (6), (7), (8), E, A1, A2
(10)그러므로 (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) 이다.(9), A12, D1
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따름정리 C
(fg)′ = f′g′ 은 일반적으로 성립하지 않는다.
증명.
(1)f(x) = g(x) = x 로 두면 f′(x) = g′(x) = 1 이다.L1
(2)T1 에 의하여 (fg)′(x) = 1 · x + x · 1 = x + x = 2x 이다.T1, A6, A8, A10, 약속
(3)f′(x)g′(x) = 1 · 1 = 1 이다.(1), A10
(4)x = 1 에서 (2) 는 2, (3) 은 1 이고 1 ≠ 2 이다.(2), (3), A10, A15
(5)그러므로 두 값은 같지 않다.(4)
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비고
A5 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
(4) 의 첫 항에는 f(x) 가 아니라 f(x+h) 가 남아 있다. 그것을 f(x) 로 바꾸는 근거를 확인하라.