PROOF 161
증명하라.
확률은 0 이상 1 이하다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
보조정리 L1
P(∅) = 0
증명.
(1)S ∪ ∅ = S 이고 S 와 ∅ 는 배반이다.A4
(2)P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅)(1), A3
(3)S ∪ ∅ = S 이므로 P(S ∪ ∅) = P(S)(1), E
(4)P(S) = P(S) + P(∅)(2), (3), E
(5)P(∅) = 0(4), A6
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보조정리 L2
모든 사건 A 에 대하여 P(A) + P(Aᶜ) = 1
증명.
(1)S = A ∪ Aᶜ 이고 두 사건은 배반이다.A5
(2)P(S) = P(A) + P(Aᶜ)(1), A3
(3)P(S) = 1A2
(4)P(A) + P(Aᶜ) = 1(2), (3), E
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정리 T1
모든 사건 A 에 대하여 0 ≤ P(A) ≤ 1
증명.
(1)P(A) ≥ 0A1
(2)P(A) + P(Aᶜ) = 1L2
(3)P(Aᶜ) ≥ 0A1
(4)P(A) ≤ P(A) + P(Aᶜ)(3), A7
(5)P(A) ≤ 1(2), (4)
(6)0 ≤ P(A) ≤ 1(1), (5)
(7)상한은 규정이 아니다. 1 은 A 와 Aᶜ 가 나누어 가지며, Aᶜ 의 몫이 음수가 아니므로 A 의 몫이 1 을 넘지 못한다.(2), (3), (5)
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따름정리 C1
0 과 1 은 모두 어떤 사건의 확률이므로, 이 범위는 더 좁힐 수 없다.
증명.
(1)P(∅) = 0L1
(2)P(S) = 1A2
(3)0 ≤ P(A) ≤ 1 이고 두 끝값이 모두 취해지므로, 이보다 좁은 구간은 모든 사건을 담지 못한다.(1), (2), T1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
비음성은 하한을 준다. 상한과는 무관해 보인다. 제거하면 어느 쪽이 사라지는지 확인하라.