PROOF 135
증명하라.
xⁿ 의 도함수
미분가능한 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A7
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정의 D2
n 이 자연수일 때 x¹ = x 이고 x^(k+1) = xᵏ · x 로 둔다.
증명.
그러므로 k ≥ 2 이면 hᵏ = h² · h^(k−2) 이다.약속, A12
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보조정리 L1
n 이 자연수이고 h ≠ 0 이면 [(x+h)ⁿ − xⁿ]/h = nxⁿ⁻¹ + h · R(x,h) 가 되는 다항식 R 이 있다.
증명.
(1)이항정리에 의해 (x+h)ⁿ = Σ (k=0…n) nCk xⁿ⁻ᵏ hᵏA1, D2
(2)k = 0 인 항은 nC0 xⁿ = xⁿ 이고, k = 1 인 항은 nC1 xⁿ⁻¹h = n xⁿ⁻¹ h 이다.(1), A2, A15
(3)k ≥ 2 인 항은 hᵏ = h² h^(k−2) 이므로 모두 h² 를 인수로 가진다. 그 항들의 합을 h² R(x,h) 로 쓴다.(1), D2, A11, A12, A13
(4)그러므로 (x+h)ⁿ = xⁿ + n xⁿ⁻¹ h + h² R(x,h)(1), (2), (3), A17, A18
(5)양변에서 xⁿ 을 빼면 (x+h)ⁿ − xⁿ = n xⁿ⁻¹ h + h² R(x,h)(4), E, A17, A18, A19, A20
(6)h ≠ 0 이므로 양변에 h⁻¹ 을 곱하면 [(x+h)ⁿ − xⁿ]/h = n xⁿ⁻¹ + h R(x,h)(5), E, A11, A12, A13, A14, A15
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정리 T1
n 이 자연수이면 f(x) = xⁿ 은 모든 x 에서 미분가능하고 f′(x) = n xⁿ⁻¹ 이다.
증명.
(1)h ≠ 0 에서 f 의 차분몫은 n xⁿ⁻¹ + h R(x,h) 이다.L1, D1
(2)lim (h→0) h = 0A5
(3)R(x,h) 는 h 에 대한 다항식이므로 각 항은 상수와 h 의 거듭제곱의 곱이고, 그 극한은 존재한다.A3, A4, A5, A6, D2
(4)그러므로 lim (h→0) h R(x,h) = 0 · lim R(x,h) = 0(2), (3), A4, A16
(5)lim (h→0) n xⁿ⁻¹ = n xⁿ⁻¹A6
(6)두 극한을 더하면 lim (h→0) [n xⁿ⁻¹ + h R(x,h)] = n xⁿ⁻¹(4), (5), A3, A20
(7)그러므로 f 는 x 에서 미분가능하고 f′(x) = n xⁿ⁻¹ 이다.(1), (6), A7, D1
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따름정리 C
m 이 자연수이고 x ≠ 0 이면 (x⁻ᵐ)′ = −m x⁻ᵐ⁻¹ 이다.
증명.
(1)x⁻ᵐ 은 (xᵐ)⁻¹ 을 뜻한다.A9
(2)g(x) = xᵐ 로 두면 g′(x) = m xᵐ⁻¹ 이다.T1
(3)몫의 미분법에 의해 (x⁻ᵐ)′ = (1/g)′ = −g′/g² = −m xᵐ⁻¹ · ((xᵐ)²)⁻¹(1), (2), A8
(4)(xᵐ)² = xᵐ xᵐ = x²ᵐ 이고, xᵐ⁻¹ · (x²ᵐ)⁻¹ = xᵐ⁻¹ x⁻²ᵐ = x⁻ᵐ⁻¹ 이다.A10, A9, D2
(5)그러므로 (x⁻ᵐ)′ = −m x⁻ᵐ⁻¹ 이다.(3), (4), A12, A13
(6)x⁻ᵐ 의 뜻은 지수법칙이 유지되도록 고른 약속이다. 그 약속 아래에서 도함수의 꼴도 자연수 지수의 것과 같아진다.(5), A9, A10
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
지수 n 이 계수로 앞에 나오는 자리는 L1 의 (2) 한 곳뿐이다. 그 n 이 어디서 온 수인지 확인하라.