PROOF 134
증명하라.
좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다
실수 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A2
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정의 D2
차분몫의 h → 0− 극한을 좌미분계수 f′−(x), h → 0+ 극한을 우미분계수 f′+(x) 라 한다.
증명.
각각은 h 를 한쪽에서만 0 에 보낸 극한이다. 한쪽 극한이 존재한다는 것과 그 값이 무엇인가, 두 가지를 함께 뜻한다.약속
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정리 T1
f 가 x 에서 미분가능할 필요충분조건은 f′−(x) 와 f′+(x) 가 모두 존재하고 서로 같은 것이며, 그때 f′(x) 는 그 공통값이다.
증명.
(1)h ≠ 0 에서 Q(h) = [f(x+h) − f(x)]/h 로 둔다.약속, D1
(2)f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 lim (h→0) Q(h) 가 존재한다는 것이다.(1), D1
(3)그 극한이 존재할 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같은 것이다.(2), A1
(4)Q 의 좌극한이 f′−(x) 이고 우극한이 f′+(x) 이다.(1), D2
(5)그러므로 f 가 x 에서 미분가능한 것과 f′−(x) = f′+(x) 인 것은 같다.(2), (3), (4)
(6)극한값은 유일하므로 그 공통값 하나가 f′(x) 다.(5), A2, D1
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따름정리 C1
g(x) = |x| 는 0 에서 미분가능하지 않다. 좌·우 미분계수가 다르기 때문이다.
증명.
(1)|t| 는 t ≥ 0 이면 t, t < 0 이면 −t 를 뜻한다. 그러므로 |0| = 0 이고 0 + h = h 이다.약속, A20, A22
(2)h > 0 이면 [g(0+h) − g(0)]/h = h · h⁻¹ = 1 이다.(1), A20, A21, A22, A14
(3)h < 0 이면 [g(0+h) − g(0)]/h = (−h) · h⁻¹ = (−1)(h · h⁻¹) = −1 이다.(1), A19, A16, A14, A18
(4)차분몫은 h > 0 에서 상수 1, h < 0 에서 상수 −1 이므로 f′+(0) = 1, f′−(0) = −1 이다.(2), (3), A3, D2
(5)1 ≠ −1 이므로 두 값이 다르고, g 는 0 에서 미분가능하지 않다.(4), A23, T1
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따름정리 C2
g(x) = x^(1/3) 의 0 에서의 차분몫은 좌·우 어느 쪽에서도 양수이지만, g 는 0 에서 미분가능하지 않다.
증명.
(1)x^(1/3) 은 s³ = x 인 실수 s 를 뜻하며 그런 s 는 하나뿐이다. 그러므로 g(0) = 0 이다.약속, A5
(2)h ≠ 0 이고 u = h^(1/3) 이면 h = u³ 이고 u ≠ 0 이다.(1)
(3)Q(h) = [g(0+h) − g(0)]/h = u · (u³)⁻¹ = u · u⁻¹(u²)⁻¹ = (u²)⁻¹(2), A20, A21, A22, A15, A16, A14, A18
(4)u ≠ 0 이므로 0 < u² 이고, 따라서 Q(h) = (u²)⁻¹ > 0 이다. h 의 부호와 무관하다.(3), A9, A6
(5)좌·우 어느 쪽에서도 차분몫의 부호는 같다. 여기서 갈라지는 것은 부호가 아니다.(4)
(6)lim (h→0) Q(h) 가 존재한다고 하자. 그러면 δ > 0 과 M > 0 이 있어 0 < |h| < δ 인 모든 h 에서 Q(h) ≤ M 이다.가정, A4, (4)
(7)0 < M⁻¹ 이므로 s = min(δ, M⁻¹, 1) 은 양수다. u = s/2 로 두면 0 < u < δ, u < M⁻¹, u < 1 이다.(6), A6, A10, A11, A12
(8)0 < u < 1 이므로 u² = u · u < u · 1 = u 이고, 같은 이유로 u³ < u² 이다.(7), A7, A17, A18
(9)h = u³ 로 두면 0 < h < u < δ 이므로 h 는 (6) 의 범위 안에 있다.(7), (8), A12
(10)u² < u < M⁻¹ 이고, 양변에 양수 M(u²)⁻¹ 을 곱하면 M < (u²)⁻¹ = Q(h) 이다.(3), (7), (8), A12, A7, A8, A6, A14, A16, A17, A18, E
(11)(6) 은 Q(h) ≤ M 을 말한다. M < Q(h) 와 함께 성립할 수 없다.(6), (9), (10), A13
(12)그러므로 lim (h→0) Q(h) 는 존재하지 않고, g 는 0 에서 미분가능하지 않다.(11), D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T1 은 미분가능성을 좌·우 두 극한의 조건으로 바꾸어 놓는다. 그 바꿔치기를 허락하는 것이 무엇인지 확인하라. C2 가 그것을 쓰는지도 함께 보라.