PROOF 10
증명하라.
확장은 무엇을 지킬지가 정한다
각 수 체계 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
순서체는 A1~A8 을 만족하고, 그 위에 A11~A14 를 만족하는 관계 < 를 가진 수 체계다.
증명.
ℚ 와 ℝ 은 순서체다.약속
∎
정의 D2
i 는 i × i = −1 을 만족하는 수이며, ℂ 는 ℝ 에 i 를 더해 얻는다.
증명.
i 는 찾아낸 수가 아니라 이 식으로 정한 수다.약속
∎
보조정리 L1
a ≠ 0 이면 0 < a × a
증명.
(1)a ≠ 0 이므로 0 < a 또는 a < 0 이다.가정, A11
(2)0 < a 이면 0 < a × a 이다.(1), A13
(3)a < 0 이면 a + (−a) < 0 + (−a), 즉 0 < −a 이다.(1), A12, A2, A1
(4)그러면 0 < (−a)(−a) 이다.(3), A13
(5)(−a)(−a) = a × aA10
(6)어느 경우에나 0 < a × a 이다.(2), (4), (5), E
∎
보조정리 L2
0 < 1
증명.
(1)1 ≠ 0A8
(2)0 < 1 × 1(1), L1
(3)1 × 1 = 1A3
(4)0 < 1(2), (3), E
∎
정리 T1
덧셈 역원을 가진 순서체에는 최소원이 없다.
증명.
(1)최소원 m 이 있다고 하자.가정
(2)0 < 1L2
(3)0 + (−1) < 1 + (−1), 즉 −1 < 0(2), A12, A2, A1
(4)m + (−1) < m + 0 = m(3), A12, A1
(5)m + (−1) 도 이 체의 원소다.A2, D1
(6)m 보다 작은 원소가 있으므로 (1) 에 모순이다.(1), (4), (5)
(7)최소원은 없다. 그러므로 A15 는 성립하지 않는다.(6), A15
∎
정리 T2
곱셈 역원을 가진 순서체에는 0 < x < 1 인 x 가 있다.
증명.
(1)2 = 1 + 1 로 둔다.약속
(2)0 < 1L2
(3)0 + 1 < 1 + 1, 즉 1 < 2(1), (2), A12, A1
(4)0 < 2(2), (3), A14
(5)2 ≠ 0 이므로 2 × 2⁻¹ = 1 인 2⁻¹ 이 있다.(4), A11, A4
(6)2⁻¹ = 0 이면 1 = 2 × 0 = 0 이 되어 A8 에 어긋난다.(5), A9, A8
(7)0 < 2⁻¹ × 2⁻¹(6), L1
(8)2(2⁻¹ × 2⁻¹) = (2 × 2⁻¹)2⁻¹ = 2⁻¹A5, (5), A3, A6
(9)0 < 2⁻¹(4), (7), (8), A13, E
(10)2⁻¹ + 2⁻¹ = 2⁻¹(1 + 1) = 2⁻¹ × 2 = 1A3, A7, (1), A6, (5)
(11)0 + 2⁻¹ < 2⁻¹ + 2⁻¹, 즉 2⁻¹ < 1(9), (10), A12, A1
(12)0 < 2⁻¹ < 1(9), (11)
∎
정리 T3
ℂ 는 순서체가 될 수 없다.
증명.
(1)ℂ 가 순서체라 하자.가정, D1
(2)0 < 1L2
(3)0 + (−1) < 1 + (−1), 즉 −1 < 0(2), A12, A2, A1
(4)그러므로 −1 ≠ 0(3), A11
(5)i = 0 이면 i × i = 0 이 되어 (4) 에 어긋난다. 그러므로 i ≠ 0.(4), A9, D2
(6)0 < i × i(5), L1
(7)i × i = −1D2
(8)0 < −1(6), (7), E
(9)(3) 과 (8) 은 A11 에 어긋난다.(3), (8), A11
(10)ℂ 는 순서체가 아니다.(9)
∎
비고
A11 은 이 증명들에서 제거할 수 있는가.
두 수의 크기를 비교할 수 없는 세계를 놓고, 어느 줄부터 무너지는지 확인하라.