PROOF 148
증명하라.
평행이동과 대칭이동은 길이와 각을 보존한다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
좌표평면에서 두 변환을 정한다. 실수 a, b 에 대하여 T(x, y) = (x + a, y + b) 를 평행이동이라 하고, σ(x, y) = (x, −y) 를 x축에 대한 대칭이동이라 한다.
증명.
(1)두 변환은 점마다 좌표만으로 정해진다.약속
(2)T 는 두 좌표에 상수를 더하고, σ 는 y좌표의 부호만 바꾼다.(1), 약속
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정의 D2
평면의 변환 f 가 모든 두 점 P, Q 에 대하여 d(f(P), f(Q)) = d(P, Q) 를 만족하면 f 를 등거리변환이라 한다.
증명.
(1)이 정의가 요구하는 것은 두 점 사이의 거리 하나뿐이다.약속
(2)각도 사이 관계도 정의에 들어 있지 않다. 그것들이 따라 나오는지가 이 편의 물음이다.(1), 약속
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보조정리 L1
평행이동 T 는 등거리변환이다.
증명.
(1)P = (x₁, y₁), Q = (x₂, y₂) 라 하면 T(P) = (x₁+a, y₁+b), T(Q) = (x₂+a, y₂+b)D1
(2)(x₂+a) − (x₁+a) = (x₂ + a) + ((−x₁) + (−a)) = (x₂ + (−x₁)) + (a + (−a)) = x₂ − x₁A11, A12, A8, A9, A10
(3)같은 방법으로 (y₂+b) − (y₁+b) = y₂ − y₁A11, A12, A8, A9, A10
(4)d(T(P), T(Q))² = ((x₂+a)−(x₁+a))² + ((y₂+b)−(y₁+b))²(1), A1
(5)= (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = d(P, Q)²(2), (3), (4), A1, E
(6)두 거리는 음이 아니고 제곱이 같으므로 d(T(P), T(Q)) = d(P, Q)(5), A7
(7)모든 두 점에서 성립하므로 T 는 등거리변환이다.(6), D2
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보조정리 L2
x축에 대한 대칭이동 σ 는 등거리변환이다.
증명.
(1)σ(P) = (x₁, −y₁), σ(Q) = (x₂, −y₂)D1
(2)x좌표는 그대로이므로 그 차는 x₂ − x₁(1)
(3)(−y₂) − (−y₁) = (−y₂) + y₁ = −(y₂ + (−y₁)) = −(y₂ − y₁)A11, A12, A9
(4)(−(y₂−y₁))² = (y₂−y₁)²A13
(5)d(σ(P), σ(Q))² = (x₂−x₁)² + (−(y₂−y₁))² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = d(P, Q)²(1), (2), (3), (4), A1, E
(6)d(σ(P), σ(Q)) = d(P, Q)(5), A7
(7)모든 두 점에서 성립하므로 σ 는 등거리변환이다.(6), D2
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정리 T1
등거리변환은 각을 보존한다.
증명.
(1)f 를 등거리변환이라 하고 ∠BAC 를 한 각이라 하자. B, C 는 각의 두 변 위의 A 아닌 점이다.가정, D2, A5
(2)f 는 세 거리를 그대로 옮긴다. AB = f(A)f(B), BC = f(B)f(C), CA = f(C)f(A)(1), D2
(3)A, B, C 가 한 직선 위에 없는 경우를 먼저 본다.가정
(4)f(A), f(B), f(C) 가 한 직선 위에 있다면 하나가 나머지 둘 사이에 있어 두 거리의 합이 나머지 하나가 된다. (2) 에 의해 A, B, C 에서도 같은 등식이 성립하여 (3) 에 어긋난다.(2), (3), A4, A6
(5)세 변이 각각 같으므로 △ABC ≅ △f(A)f(B)f(C)(2), (4), A2
(6)합동이므로 대응각이 같다. ∠BAC = ∠f(B)f(A)f(C)(5), A3
(7)A, B, C 가 한 직선 위에 있는 경우, ∠BAC 는 0° 이거나 180° 이며 어느 쪽인지는 A 가 B 와 C 사이인지가 정한다.(1), A6, 약속
(8)(2) 와 사이 관계의 판정에 의해 f 는 그 사이 관계를 그대로 옮긴다.(2), A4
(9)그러므로 상의 각도 0° 이거나 180° 로 같다.(7), (8)
(10)각은 두 반직선으로 정해지고 B, C 를 어디에 잡아도 같으므로, (6) 과 (9) 는 각 자체의 성질이다.(6), (9), A5
(11)이 블록은 좌표도 A1 도 인용하지 않았다. 각의 보존은 SSS 합동 하나에서 나온다.(5), (6), A2, A3
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따름정리 C
평행이동 T 와 x축 대칭이동 σ 는 두 점 사이의 거리와 각을 모두 보존한다.
증명.
(1)T 와 σ 는 등거리변환이다.L1, L2
(2)등거리변환은 각을 보존한다.T1
(3)그러므로 T 와 σ 는 길이와 각을 모두 보존한다.(1), (2)
(4)길이의 보존은 좌표 계산과 거리 공식에서, 각의 보존은 SSS 합동에서 왔다. 두 근거는 같지 않다.(1), (2), A1, A2
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
거리를 보존한다는 것과 각을 보존한다는 것을 나누어 보라. 두 주장이 인용한 것을 각각 세어 보라.