PROOF 45
증명하라.
중간값 정리
실수 ℝ 의 완비성 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
c 가 S 의 상한이라는 것은, c 가 S 의 상계이고 c 보다 작은 수는 S 의 상계가 아님을 뜻한다.
증명.
(1)상계란 S 의 모든 원소보다 작지 않은 수다. 상한은 상계 중 가장 작은 것이다.약속
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정의 D2
f 가 p 에서 연속이라는 것은, 임의의 ε > 0 에 대하여 δ > 0 이 있어 x ∈ [a,b] 이고 |x − p| < δ 이면 |f(x) − f(p)| < ε 임을 뜻한다.
증명.
(1)δ 는 p 와 ε 에 따라 달라져도 된다. 이 정의는 p 한 점에서의 성질이다.약속
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보조정리 L1
S = {x ∈ [a,b] : f(x) < k} 라 하면 c = sup S 가 존재하고 a ≤ c ≤ b 이다.
증명.
(1)f 는 [a,b] 에서 연속이고 f(a) < k < f(b) 이다.가정
(2)f(a) < k 이므로 a ∈ S 이고 S ≠ ∅ 이다.(1), 약속
(3)S ⊆ [a,b] 이므로 b 는 S 의 상계다.약속, D1
(4)그러므로 c = sup S 가 존재한다.(2), (3), A7
(5)a ∈ S 이고 c 는 상계이므로 a ≤ c.(2), (4), D1
(6)b 는 상계이고 c 는 최소인 상계이므로 c ≤ b.(3), (4), D1
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보조정리 L2
f(c) < k 는 성립하지 않는다.
증명.
(1)f(c) < k 라 하자.가정
(2)f(b) > k 이므로 c ≠ b 이고, c ≤ b 이므로 c < b.(1), L1, A3
(3)ε = k − f(c) 로 두면 ε > 0 이다.(1), A1, A2
(4)c ∈ [a,b] 이므로 δ > 0 이 있어 |x − c| < δ 이면 |f(x) − f(c)| < ε 이다.L1, D2, 가정
(5)b − c > 0 이다.(2), A1, A2
(6)0 < h < δ, h < b − c 인 h 를 잡는다.(4), (5), A6
(7)x₁ = c + h 로 두면 c < x₁ < b 이고 x₁ ∈ [a,b] 이다.(6), L1, A1, A2, A4
(8)x₁ − c = h 이고 −δ < h < δ 이므로 |x₁ − c| < δ 이다.(6), (7), A5
(9)|f(x₁) − f(c)| < ε 이므로 f(x₁) < f(c) + ε = k.(4), (8), A5, (3), A1
(10)그러므로 x₁ ∈ S 이다.(7), (9), 약속
(11)x₁ > c 이므로 c 는 S 의 상계가 아니다. 이는 D1 에 모순이다.(7), (10), D1, L1
(12)f(c) < k 는 성립하지 않는다.(11)
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보조정리 L3
f(c) > k 는 성립하지 않는다.
증명.
(1)f(c) > k 라 하자.가정
(2)f(a) < k 이므로 c ≠ a 이고, a ≤ c 이므로 a < c.(1), L1, A3
(3)ε = f(c) − k 로 두면 ε > 0 이다.(1), A1, A2
(4)c ∈ [a,b] 이므로 δ > 0 이 있어 |x − c| < δ 이면 |f(x) − f(c)| < ε 이다.L1, D2, 가정
(5)c − a > 0 이다.(2), A1, A2
(6)0 < h < δ, h < c − a 인 h 를 잡고 c′ = c − h 로 둔다. a < c′ < c 이다.(4), (5), A6, A1, A2
(7)x ∈ S 이고 x > c′ 라 하자.가정
(8)c 는 상계이므로 x ≤ c 이고, x > c − h 이므로 −δ < x − c ≤ 0 < δ 이다.(6), (7), L1, D1, A1, A2
(9)|x − c| < δ 이므로 |f(x) − f(c)| < ε 이다.(8), A5, (4)
(10)f(x) > f(c) − ε = k.(9), A5, (3), A1
(11)x ∈ S 이므로 f(x) < k 이다. 이는 (10) 에 모순이다.(7), 약속, (10), A3
(12)그러므로 S 의 모든 원소는 c′ 이하다. c′ 은 c 보다 작은 상계이므로 D1 에 모순이다.(11), (6), D1, L1
(13)f(c) > k 는 성립하지 않는다.(12)
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정리 T
f 가 [a,b] 에서 연속이고 f(a) < k < f(b) 이면 f(c) = k 인 c 가 a 와 b 사이에 존재한다.
증명.
(1)c = sup S 가 존재하고 a ≤ c ≤ b 이다.L1
(2)f(c) < k 도 f(c) > k 도 아니다.L2, L3
(3)그러므로 f(c) = k 이다.(2), A3
(4)f(a) < k = f(c) 이므로 c ≠ a 이고, f(b) > k = f(c) 이므로 c ≠ b 이다.가정, (3)
(5)a ≤ c ≤ b 이므로 a < c < b 이다.(1), (4), A3
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비고
A7 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이 증명에서 A7 은 단 한 번, L1 의 (4) 에서만 쓰인다. 제거하면 어디까지 남는지 확인하라.