PROOF 143
증명하라.
부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 읽은 것이다
닫힌 구간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
G 가 어떤 구간에서 h 의 원시함수라는 것은, 그 구간의 모든 점에서 G′ = h 임을 뜻한다.
증명.
(1)이 정의는 그러한 G 가 있다고 주장하지 않는다. 있으면 그렇게 부를 뿐이다.약속
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정의 D2
h 의 부정적분 ∫h(x)dx 는 h 의 원시함수 전체를 뜻한다. G 가 그중 하나일 때 ∫h(x)dx = G(x) + C 로 쓰고, C 는 임의의 상수를 나타낸다.
증명.
(1)임의의 상수 c 에 대하여 (G + c)′ = G′ = h 이므로 G + c 도 원시함수다.A4, D1
(2)역으로 H 가 원시함수이면 H′ = G′ 이므로 H − G 는 상수다.D1, A3
(3)그러므로 원시함수 전체는 정확히 G + C 꼴이다. 등식의 양변은 함수가 아니라 함수의 모임이다.(1), (2)
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보조정리 L1
f 와 g 가 미분가능하고 H 가 f′g 의 원시함수이면 (fg − H)′ = fg′ 이다.
증명.
(1)곱의 미분법에 의하여 (fg)′ = f′g + fg′ 이다.가정, A1
(2)(fg − H)′ = (fg)′ − H′ 이다.A2
(3)H 는 f′g 의 원시함수이므로 H′ = f′g 이다.가정, D1
(4)(fg − H)′ = (f′g + fg′) − f′g = fg′(1), (2), (3), A10, E
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정리 T1
f 와 g 가 미분가능하고 f′g 가 원시함수를 가지면 ∫ f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f′(x)g(x) dx 이다.
증명.
(1)f′g 의 원시함수 하나를 H 라 하자.가정, D1
(2)(fg − H)′ = fg′ 이므로 fg − H 는 fg′ 의 원시함수다.(1), L1, D1
(3)그러므로 좌변 ∫fg′dx 는 f(x)g(x) − H(x) + C 꼴의 함수 전체다.(2), D2
(4)∫f′g dx 는 H(x) + C 꼴의 함수 전체다.(1), D2
(5)따라서 우변 f(x)g(x) − ∫f′g dx 는 f(x)g(x) − H(x) − C 꼴의 함수 전체다.(4), A10
(6)C 가 모든 상수를 지날 때 −C 도 모든 상수를 지나므로 (3) 과 (5) 는 같은 모임이다.(3), (5), A10
(7)그러므로 적분상수는 한 번만 쓴다. 양변에 하나씩 쓰면 같은 임의성을 두 번 쓰는 것이다.(6), D2
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정리 T2
f 와 g 가 미분가능하고 f′ 과 g′ 이 [a,b] 에서 연속이면 ∫ₐᵇ f g′ = f(b)g(b) − f(a)g(a) − ∫ₐᵇ f′ g 이다.
증명.
(1)f 와 g 는 미분가능하므로 연속이고, 따라서 f′g 와 fg′ 은 [a,b] 에서 연속이고 적분가능하다.가정, A9, A7, A8
(2)H(x) = ∫ₐˣ f′g 는 f′g 의 원시함수다.(1), A5, D1
(3)L1 에 의하여 fg − H 는 fg′ 의 원시함수다.(2), L1, D1
(4)기본정리에 의하여 ∫ₐᵇ fg′ = (fg − H)(b) − (fg − H)(a) 이다.(1), (3), A6
(5)H′ = f′g 이므로 기본정리에 의하여 ∫ₐᵇ f′g = H(b) − H(a) 이다.(1), (2), A6
(6)(4) 를 펼치면 ∫ₐᵇ fg′ = f(b)g(b) − f(a)g(a) − (H(b) − H(a)) 이다.(4), A10
(7)(5) 를 넣으면 ∫ₐᵇ fg′ = f(b)g(b) − f(a)g(a) − ∫ₐᵇ f′g 이다.(5), (6), E
(8)T1 의 임의 상수는 여기에 없다. 두 원시함수의 차를 취하면 상수가 사라지기 때문이다.T1, (4), (6), A10
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
A1 은 L1 의 (1) 에서 단 한 번 쓰인다. 그 한 줄이 없으면 무엇을 이항할 수 없는지 확인하라.