PROOF 51
증명하라.
원주각은 중심각의 절반
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
원 위의 서로 다른 두 점 B, C 는 원을 두 호로 나눈다. 각 호에 0°보다 크고 360°보다 작은 크기를 대응시키고, 두 크기의 합은 360° 이다. 이 크기를 그 호에 대한 중심각이라 한다.
증명.
(1)호 BC 의 크기를 호BC 로 쓴다. 지름이 나누는 두 호를 반원이라 한다.약속
(2)호 BC 위에 있지 않은 원 위의 점 A 에 대하여 ∠BAC 를 그 호에 대한 원주각이라 한다.약속
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보조정리 L1
삼각형 XYZ 에서 변 XY 를 Y 너머로 연장한 점을 W 라 하면 ∠ZYW = ∠YXZ + ∠XZY
증명.
(1)Y 는 X 와 W 사이에 있으므로 ∠XYW = 180°가정, A4
(2)Z 는 직선 XY 위에 없으므로 반직선 YZ 는 ∠XYW 의 내부에 있다.가정, A6
(3)∠XYZ + ∠ZYW = ∠XYW = 180°(1), (2), A5
(4)∠YXZ + ∠XYZ + ∠XZY = 180°A3
(5)∠XYZ + ∠ZYW = ∠XYZ + (∠YXZ + ∠XZY)(3), (4), A11, E
(6)∠ZYW = ∠YXZ + ∠XZY(5), A11
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보조정리 L2
AD 가 지름이고 C 가 A, D 와 다른 원 위의 점이면 ∠DAC = ½ 호DC (A 를 포함하지 않는 호 DC)
증명.
(1)OA = OC = rA1
(2)삼각형 OAC 에서 ∠OAC = ∠OCA. 이 값을 α 라 한다.(1), A2
(3)O 는 A 와 D 사이에 있으므로 ∠COD 는 삼각형 OAC 의 외각이다.가정, A10
(4)∠COD = ∠OAC + ∠OCA = α + α = 2α(3), L1, (2), A11
(5)반직선 AO 와 반직선 AD 는 같으므로 ∠DAC = ∠OAC = α(3), (2)
(6)호DC 와 호CA 가 반원 호DA 를 이루므로 호DC + 호CA = ∠DOA = 180°(3), D1, A7, A8, A4
(7)호CA > 0 이므로 호DC < 180°(6), D1
(8)호DC = ∠DOC(7), A8
(9)호DC = ∠COD = 2α = 2∠DAC(8), (4), (5)
(10)∠DAC = ½ 호DC(9), A11, E
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정리 T
원 위의 세 점 A, B, C 에 대하여 ∠BAC = ½ 호BC 이다. 여기서 호BC 는 A 를 포함하지 않는 호이다.
증명.
(1)∠BAC 는 A 를 포함하지 않는 호 BC 에 대한 원주각이다.D1
(2)A 를 지나는 지름의 다른 끝점을 D 라 한다.A10
(3)D 는 B 또는 C 이거나, A 를 포함하지 않는 호 BC 위에 있거나, A 를 포함하는 호 위에 있다. 이 세 경우가 전부다.(2), D1
(4)경우 1. D = B 이면 AB 가 지름이므로 ∠BAC = ½ 호BC(3), L2
(5)D = C 인 경우는 B 와 C 의 이름을 바꾸면 (4) 와 같다.(4)
(6)경우 2. D 가 A 를 포함하지 않는 호 BC 위에 있으면 ∠BAD + ∠DAC = ∠BAC(3), A9
(7)AD 가 지름이므로 ∠BAD = ½ 호BD, ∠DAC = ½ 호DC(2), L2
(8)호BD + 호DC = 호BC(3), A7
(9)∠BAC = ½ 호BD + ½ 호DC = ½(호BD + 호DC) = ½ 호BC(6), (7), (8), A11
(10)경우 3. D 가 A 를 포함하는 호 위에 있고 D ≠ A 이면, D 는 호 AB 또는 호 AC 위에 있다. 호 AB 위에 있다 하자.(3), D1
(11)그러면 B 는 A 를 포함하지 않는 호 DC 위에 있으므로 ∠DAB + ∠BAC = ∠DAC, 호DB + 호BC = 호DC(10), A9, A7
(12)AD 가 지름이므로 ∠DAC = ½ 호DC, ∠DAB = ½ 호DB(2), L2
(13)∠BAC = ∠DAC − ∠DAB = ½(호DC − 호DB) = ½ 호BC(11), (12), A11, E
(14)D 가 호 AC 위인 경우는 B 와 C 의 이름을 바꾸면 (10)~(13) 과 같다.(13)
(15)세 경우 모두 ∠BAC = ½ 호BC(4), (5), (9), (13), (14)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
세 경우 중 실제로 증명한 것은 하나뿐이다. 나머지 둘이 무엇에 기대고 있는지 확인하라.