정의 D1
G 가 f 의 원시함수라는 것은 [a,b] 의 모든 x 에서 G′(x) = f(x) 임을 뜻한다.
증명.
(1)이 정의는 그러한 G 가 있다고 주장하지 않는다. 있으면 그렇게 부를 뿐이다.약속
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정의 D2
a ≤ x ≤ b 에 대하여 F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 로 둔다.
증명.
(1)f 는 [a,x] 에서 연속이므로 적분가능하고, F(x) 는 각 x 에서 값을 가진다.가정, A5
(2)위끝이 아래끝보다 작을 때는 u > v 에 대하여 ∫ᵤᵛ f = −∫ᵥᵘ f 로 약속한다.약속
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정의 D3
F′(x) = L 이라는 것은, 임의의 ε > 0 에 대하여 δ > 0 이 있어 0 < |h| < δ 이면 |(F(x+h) − F(x))/h − L| < ε 임을 뜻한다.
증명.
(1)차분몫 (F(x+h) − F(x))/h 는 h ≠ 0 에서만 뜻을 가진다. 분자를 ΔF 로 줄여 쓴다.약속
(2)끝점에서는 h 를 구간 안쪽으로만 잡는다.약속
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보조정리 L1
x 와 x+h 가 모두 [a,b] 에 있으면 F(x+h) − F(x) = ∫ₓˣ⁺ʰ f 이다.
증명.
(1)h > 0 이라 하자. ∫ₐˣ⁺ʰ f = ∫ₐˣ f + ∫ₓˣ⁺ʰ f가정, A3
(2)F(x+h) = F(x) + ∫ₓˣ⁺ʰ f 이므로 결론을 얻는다.(1), D2, A1
(3)h < 0 이라 하자. ∫ₐˣ f = ∫ₐˣ⁺ʰ f + ∫ₓ₊ₕˣ f가정, A3
(4)약속 ∫ₓ₊ₕˣ f = −∫ₓˣ⁺ʰ f 를 넣으면 F(x) = F(x+h) − ∫ₓˣ⁺ʰ f 이고 결론은 같다.(3), D2, A1
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보조정리 L2
x 와 x+h 가 [a,b] 에 있고 0 < |h| 이며 그 사이의 모든 t 에서 |f(t) − f(x)| ≤ η 이면, |(F(x+h) − F(x))/h − f(x)| ≤ η 이다.
증명.
(1)가정에서 그 구간의 모든 t 에 대하여 f(x) − η ≤ f(t) ≤ f(x) + η 이다.가정, A8
(2)h > 0 이라 하자. 구간 [x, x+h] 의 길이는 h 다.가정
(3)(f(x) − η)h ≤ ∫ₓˣ⁺ʰ f ≤ (f(x) + η)h(1), (2), A4
(4)∫ₓˣ⁺ʰ f = F(x+h) − F(x) 이므로 −ηh ≤ F(x+h) − F(x) − f(x)h ≤ ηh(3), L1, A1, A2
(5)h > 0 이므로 h 로 나누면 −η ≤ ΔF/h − f(x) ≤ η(4), (2), A1, A2
(6)h < 0 이라 하자. 구간 [x+h, x] 의 길이는 −h 다.가정
(7)(f(x) − η)(−h) ≤ ∫ₓ₊ₕˣ f ≤ (f(x) + η)(−h)(1), (6), A4
(8)∫ₓ₊ₕˣ f = −(F(x+h) − F(x)) 이므로 ηh ≤ F(x+h) − F(x) − f(x)h ≤ −ηh(7), L1, D2, A1, A2
(9)h < 0 이므로 h 로 나누면 부등호가 뒤집혀 −η ≤ ΔF/h − f(x) ≤ η(8), (6), A1, A2
(10)어느 경우에나 |ΔF/h − f(x)| ≤ η 이다.(5), (9), A8
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정리 T1
f 가 [a,b] 에서 연속이고 F(x) = ∫ₐˣ f 이면 [a,b] 의 모든 x 에서 F′(x) = f(x) 이다.
증명.
(1)ε > 0 이 주어졌다 하자.가정
(2)δ > 0 이 있어 |t − x| < δ 이면 |f(t) − f(x)| < ε/2 이다.A6, A1, A2
(3)x + h ∈ [a,b] 가 되도록 δ 를 더 작게 잡으면, 0 < |h| < δ 일 때 x 와 x+h 사이의 모든 t 는 |t − x| ≤ |h| < δ 이다.(2), A2, A8
(4)L2 를 η = ε/2 로 쓰면 |ΔF/h − f(x)| ≤ ε/2 이다.(2), (3), L2
(5)ε/2 < ε 이므로 |ΔF/h − f(x)| < ε 이다.(4), A1, A2
(6)임의의 ε > 0 에 대하여 그러한 δ 가 있으므로 F′(x) = f(x) 이다.(5), D3
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정리 T2
G 가 [a,b] 에서 f 의 임의의 원시함수이면 ∫ₐᵇ f = G(b) − G(a) 이다.
증명.
(1)F(x) = ∫ₐˣ f 로 두면 모든 x 에서 F′(x) = f(x) 이다.D2, T1
(2)G 는 원시함수이므로 G′(x) = f(x) 이다.가정, D1
(3)[a,b] 에서 F′ = G′ 이므로 F − G 는 상수다. 그 값을 C 라 하자.(1), (2), A7
(4)A3 에서 ∫ₐᵃ f = ∫ₐᵃ f + ∫ₐᵃ f 이므로 ∫ₐᵃ f = 0, 즉 F(a) = 0 이다.A3, A1, D2
(5)F(a) − G(a) = C 이므로 C = −G(a) 이다.(3), (4), A1
(6)F(b) − G(b) = C 이므로 F(b) = G(b) − G(a) 이다.(3), (5), A1
(7)F(b) = ∫ₐᵇ f 이다.D2
(8)∫ₐᵇ f = G(b) − G(a)(6), (7)
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