PROOF 86
증명하라.
확장할 때마다 무엇이 늘어나는가
각 수 체계 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
확장이 무엇을 얻는지는 하나의 자로 잰다. 이전 체계에서 풀리지 않던 방정식이 새 체계에서 풀리는가.
증명.
(1)각 체계를 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ 로 겹쳐 놓고 본다.약속
(2)'풀린다' 는 그 체계 안에 해가 있음을 뜻한다.약속
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보조정리 L1
0 < 1 < 2 < 4
증명.
(1)0 < 1A12
(2)2 = 1 + 1, 4 = 2 + 2 로 둔다.약속
(3)0 + 1 < 1 + 1, 즉 1 < 2(1), (2), A13, A4, A1
(4)0 < 2(1), (3), A14
(5)0 + 2 < 2 + 2, 즉 2 < 4(2), (4), A13, A4, A1
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정리 T1
ℤ 에서는 모든 a, b 에 대하여 x + a = b 가 풀린다. ℕ 에서는 풀리지 않을 수 있다.
증명.
(1)x = b + (−a) 로 둔다.A2
(2)x + a = (b + (−a)) + a(1), E
(3) = b + ((−a) + a)A3
(4)(−a) + a = a + (−a) = 0A4, A2
(5)x + a = b + 0 = b(2), (3), (4), A1
(6)그러므로 ℤ 에서는 언제나 해가 있다.(5), D1
(7)ℕ 에서 x + 2 = 1 인 x 가 있다고 하자.가정
(8)x 는 자연수이므로 0 < x 이다.(7), A11
(9)0 + 2 < x + 2, 즉 2 < x + 2(8), A13, A4, A1
(10)x + 2 = 1 이므로 2 < 1 이다.(7), (9), E
(11)1 < 2L1
(12)(10)과 (11)은 삼분법에 어긋난다.(10), (11), A15
(13)ℕ 에서는 풀리지 않고 ℤ 에서는 풀린다. 덧셈 역원이 그것을 푼다.(6), (12)
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정리 T2
ℚ 에서는 a ≠ 0 인 모든 a, b 에 대하여 ax = b 가 풀린다. ℤ 에서는 풀리지 않을 수 있다.
증명.
(1)a ≠ 0 이므로 ac = 1 인 c 가 있다.A6
(2)x = cb 로 둔다.약속
(3)ax = a(cb) = (ac)b(2), A7, E
(4)(ac)b = 1 × b = b × 1 = b(1), A8, A5
(5)그러므로 ℚ 에서는 언제나 해가 있다.(3), (4), E, D1
(6)ℤ 에서 2x = 1 인 x 가 있다고 하자.가정
(7)1 = 2x 이므로 1 은 2k 꼴이다.(6), A10
(8)한편 2 × 0 = 0 이므로 1 = 2 × 0 + 1 이다.A9, A4, A1
(9)1 이 두 꼴을 모두 가지므로 A10 에 어긋난다.(7), (8), A10
(10)ℤ 에서는 풀리지 않고 ℚ 에서는 풀린다. 곱셈 역원이 그것을 푼다.(5), (9)
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정리 T3
ℝ 에서는 x² = 2 가 풀린다. ℚ 에서는 풀리지 않는다.
증명.
(1)f(x) = x × x 로 둔다.약속
(2)f 는 연속이다.A16
(3)f(1) = 1 × 1 = 1(1), A5
(4)f(2) = 2 × 2 = 4(1), 약속
(5)1 < 2 < 4L1
(6)그러므로 f(1) < 2 < f(2) 이다.(3), (4), (5), E
(7)f(c) = 2 인 c 가 1 과 2 사이에 있다.(2), (6), A17
(8)c × c = 2(1), (7)
(9)x² = 2 인 유리수는 없다.A18
(10)ℚ 에서는 풀리지 않고 ℝ 에서는 풀린다. 완비성이 그것을 푼다.(8), (9), D1
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정리 T4
ℂ 에서는 x² = −1 이 풀린다. ℝ 에서는 풀리지 않는다.
증명.
(1)i × i = −1A20
(2)i 는 ℂ 의 원소다.D1
(3)x² = −1 인 실수는 없다.A19
(4)ℝ 에서는 풀리지 않고 ℂ 에서는 풀린다. i 가 그것을 푼다.(1), (2), (3), D1
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비고
A17 은 이 증명들에서 제거할 수 있는가.
네 정리 중 어느 것이 완비성에 기대는지 확인하라. 나머지는 무엇으로 서 있는가.