PROOF 40
증명하라.
미분가능하면 연속이다
실수 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A6
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정의 D2
f 가 x 에서 연속이라는 것은 lim (h→0) f(x+h) = f(x) 라는 것이다.
증명.
좌변의 극한이 존재한다는 것과 그 값이 f(x) 와 같다는 것, 두 가지를 함께 뜻한다.약속
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정리 T1
f 가 x 에서 미분가능하면 f 는 x 에서 연속이다.
증명.
(1)f 가 x 에서 미분가능하다고 하자.가정, D1
(2)h ≠ 0 이면 f(x+h) − f(x) = h · {[f(x+h) − f(x)] · h⁻¹}A8, A9, A10, A11
(3)lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h = f′(x)(1), D1
(4)lim (h→0) h = 0A3
(5)(2) 의 양변에 극한을 취하면 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)] = 0 × f′(x) = 0(2), (3), (4), E, A2, A12
(6)f(x) + [f(x+h) − f(x)] = f(x+h)A14, A15, A16, A17
(7)lim (h→0) f(x+h) = f(x) + 0 = f(x)(5), (6), A1, A4, A17
(8)그러므로 f 는 x 에서 연속이다.(7), D2
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따름정리 C
역은 성립하지 않는다. g(x) = |x| 는 0 에서 연속이지만 0 에서 미분가능하지 않다.
증명.
(1)|t| 는 t ≥ 0 이면 t, t < 0 이면 −t 를 뜻한다. 그러므로 |0| = 0 이다.약속
(2)h > 0 이면 |0 + h| − |0| = h 이고, h < 0 이면 |0 + h| − |0| = −h 이다.(1), A15, A16, A17
(3)우극한은 lim h = 0 이고, 좌극한은 lim(−h) = (−1) × 0 = 0 이다.(2), A3, A5, A13, A12
(4)두 값이 같으므로 lim (h→0) |0 + h| = |0| 이고, g 는 0 에서 연속이다.(3), A7, D2
(5)h > 0 이면 (|0+h| − |0|)/h = h · h⁻¹ = 1 이다.(2), A10
(6)h < 0 이면 (|0+h| − |0|)/h = (−1)(h · h⁻¹) = −1 이다.(2), A13, A8, A10
(7)차분몫은 h > 0 에서 상수 1, h < 0 에서 상수 −1 이므로 우극한은 1, 좌극한은 −1 이다.(5), (6), A4
(8)1 ≠ −1 이므로 좌·우 극한이 다르고, 차분몫의 극한은 존재하지 않는다.(7), A18, A7
(9)그러므로 g 는 0 에서 미분가능하지 않다.(8), D1
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T1 은 차분몫과 h 를 따로 0 으로 보낸다. 두 조각을 따로 보내도 된다고 말해 주는 것이 무엇인지 확인하라.