PROOF 25
증명하라.
대우만 원래 명제와 같다
명제 논리 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
명제 p → q 에 대하여 q → p 를 역, ¬p → ¬q 를 이, ¬q → ¬p 를 대우라 한다.
증명.
세 이름은 형태를 가리킬 뿐이며, 참과 거짓에 대해서는 아무것도 말하지 않는다.약속
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정의 D2
직사각형 가운데 네 변의 길이가 모두 같은 것을 정사각형이라 한다.
증명.
모든 정사각형은 직사각형이고, 가로와 세로가 다른 직사각형은 정사각형이 아니다.약속
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보조정리 L1
¬(p → q) 는 p ∧ ¬q 와 동치다.
증명.
(1)¬(p → q) ⟺ ¬(¬p ∨ q)A1, E
(2)¬(¬p ∨ q) ⟺ ¬¬p ∧ ¬qA3
(3)¬¬p ⟺ pA2
(4)¬(p → q) ⟺ p ∧ ¬q(1), (2), (3), E
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정리 T1
p → q 와 그 대우 ¬q → ¬p 는 동치다.
증명.
(1)p → q ⟺ ¬p ∨ qA1
(2)¬q → ¬p ⟺ ¬¬q ∨ ¬pA1, D1
(3)¬¬q ⟺ qA2
(4)¬q → ¬p ⟺ q ∨ ¬p(2), (3), E
(5)q ∨ ¬p ⟺ ¬p ∨ qA4
(6)¬q → ¬p ⟺ ¬p ∨ q(4), (5), E
(7)p → q ⟺ ¬q → ¬p(1), (6), E
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정리 T2
역과 이는 원래 명제와 동치가 아니다.
증명.
(1)R 을 가로 2, 세로 1 인 직사각형이라 하자.가정
(2)p 를 「R 은 정사각형이다」, q 를 「R 은 직사각형이다」로 둔다.약속
(3)R 은 네 변의 길이가 같지 않으므로 p 는 거짓이고, q 는 참이다.(1), (2), D2
(4)p → q ⟺ ¬p ∨ q ⟺ 참 ∨ 참 ⟺ 참(3), A1, A6, A5
(5)q → p ⟺ ¬q ∨ p ⟺ 거짓 ∨ 거짓 ⟺ 거짓(3), A1, A6, A5, D1
(6)¬p → ¬q ⟺ ¬¬p ∨ ¬q ⟺ 거짓 ∨ 거짓 ⟺ 거짓(3), A1, A6, A5, D1
(7)역이 거짓이라는 것은 q ∧ ¬p 가 참이라는 뜻이다.(5), L1
(8)실제로 R 은 직사각형이면서 정사각형이 아니다. 이것이 역의 반례다.(3), (7)
(9)원래 명제는 참인데 역과 이는 거짓이다.(4), (5), (6)
(10)그러므로 역과 이는 원래 명제와 동치가 아니다.(9)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이중부정 제거는 눈에 띄지 않는 자리에 놓여 있다. 제거하면 어느 줄이 근거를 잃는지 확인하라.