PROOF 162
증명하라.
여사건의 확률은 1에서 뺀 것이다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
표본공간 S 의 사건 A 에 대하여 Aᶜ = S ∖ A 를 A 의 여사건이라 한다.
증명.
(1)S 의 모든 결과는 A 에 속하거나 Aᶜ 에 속하므로 S = A ∪ Aᶜ약속
(2)어떤 결과도 두 곳에 함께 속하지 않으므로 A ∩ Aᶜ = ∅약속
(3)그러므로 A 와 Aᶜ 는 배반이며 S 의 분할이다.(1), (2)
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정의 D2
S 가 유한하고 모든 결과가 같은 확률을 가질 때, 사건 E 의 확률을 P(E) = |E| / |S| 로 정한다.
증명.
이 정의는 등확률을 가정한 유한 표본공간에서만 둔다.약속
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정리 T1
모든 사건 A 에 대하여 P(Aᶜ) = 1 − P(A)
증명.
(1)S = A ∪ Aᶜ 이고 두 사건은 배반이다.D1
(2)P(S) = P(A) + P(Aᶜ)(1), A2
(3)P(S) = 1A1
(4)P(A) + P(Aᶜ) = 1(2), (3), E
(5)P(Aᶜ) = 1 − P(A)(4), A3
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따름정리 C1
주사위를 n 번 던질 때 적어도 한 번 6 이 나올 확률은 1 − 5ⁿ/6ⁿ 이다.
증명.
(1)한 번의 결과는 6 가지이고 모든 결과가 같은 확률을 갖는다고 하자.가정
(2)n 번의 결과는 각 자리에 6 가지이므로 |S| = 6ⁿ(1), A4
(3)A 를 적어도 한 번 6 이 나오는 사건이라 하면, Aᶜ 는 6 이 한 번도 나오지 않는 사건이다.D1
(4)6 이 아닌 결과는 각 자리에 5 가지이므로 |Aᶜ| = 5ⁿ(3), A4
(5)P(Aᶜ) = 5ⁿ / 6ⁿ(1), (2), (4), D2
(6)P(A) = 1 − 5ⁿ/6ⁿ(5), T1
(7)A 를 직접 세려면 6 이 정확히 k 번 나오는 사건들로 쪼개야 한다. 그 사건들은 서로 배반이므로 |A| 는 n 개의 항을 더한 값이다.(3), A5
(8)Aᶜ 는 쪼개지지 않는다. 각 자리에 5 가지라는 곱의 법칙 한 번으로 끝난다.(4), A4
(9)n = 2 이면 P(A) = 1 − 25/36 = 11/36 이다.(6), N
(10)직접 세면 6 이 한 번인 경우가 2 × 5 = 10 가지, 두 번인 경우가 1 가지이므로 |A| = 11 이고 11/36 이다. 두 값은 같다.(7), (9), A4, A5, D2, N
(11)여사건이 쉬운 이유는 계산이 짧아서가 아니다. '적어도 하나'의 반대가 '하나도 없다'이며, 그것은 자리마다 같은 조건이 걸린 하나의 사건이기 때문이다.(7), (8)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
여사건의 등식은 뺄셈처럼 보인다. 그 뺄셈이 어느 공리에서 나오는지 확인하라.