PROOF 50
증명하라.
원의 넓이는 πr²
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
중심 O, 반지름 r 인 원 위에 원을 n 등분하는 점을 잡는다(n ≥ 3). 그 점들을 꼭짓점으로 하는 정n각형을 Iₙ, 그 점들에서 그은 접선들이 이루는 정n각형을 Cₙ 이라 한다.
증명.
(1)Iₙ 의 한 변의 길이를 sₙ, 둘레를 pₙ = n sₙ, O 에서 한 변까지의 거리를 aₙ 이라 한다.약속
(2)Cₙ 의 둘레를 qₙ 이라 한다.약속
(3)원판 D 는 O 에서의 거리가 r 이하인 점 전체이고, 도형 X 의 넓이를 [X] 로 쓴다.약속
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보조정리 L1
Iₙ ⊆ D ⊆ Cₙ 이고, 따라서 [Iₙ] ≤ K ≤ [Cₙ]
증명.
(1)Iₙ 의 꼭짓점은 원 위에 있으므로 D 에 속한다.D1
(2)D 는 볼록하므로 그 점들이 이루는 다각형 Iₙ 은 D 에 포함된다.(1), A8
(3)Cₙ 의 각 변은 원의 접선 위에 있고, 원판은 그 접선의 한쪽에만 있다.D1, A9
(4)Cₙ 은 그 n 개의 접선이 정하는 반평면들의 교집합이므로 D ⊆ Cₙ(3), D1
(5)Iₙ ⊆ D ⊆ Cₙ(2), (4)
(6)[Iₙ] ≤ K ≤ [Cₙ](5), A5, A4
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보조정리 L2
[Iₙ] = ½ aₙ pₙ 이고 [Cₙ] = ½ r qₙ
증명.
(1)O 와 Iₙ 의 이웃한 두 꼭짓점이 이루는 n 개의 삼각형은 서로 겹치지 않고 Iₙ 을 채운다.D1
(2)각 삼각형의 밑변은 sₙ, 높이는 O 에서 그 변까지의 거리 aₙ 이므로 넓이는 ½ sₙ aₙ 이다.D1, A2
(3)[Iₙ] = n × ½ sₙ aₙ = ½ aₙ (n sₙ) = ½ aₙ pₙ(1), (2), A3, A14, D1
(4)Cₙ 의 각 변은 접점에서 반지름과 수직이므로 O 에서 그 변까지의 거리는 r 이다.D1, A7
(5)같은 분해를 Cₙ 에 하면 [Cₙ] = ½ r qₙ(4), (1), (2), (3), A2, A3, A14
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보조정리 L3
n → ∞ 일 때 aₙ → r
증명.
(1)O 에서 Iₙ 의 한 변 VW 에 내린 수선의 발을 M 이라 하면, OV = OW = r 이므로 M 은 VW 의 중점이다.D1, A10
(2)삼각형 OMV 는 M 에서 직각이고 빗변은 OV = r 이므로 aₙ² + (sₙ/2)² = r²(1), D1, A6
(3)sₙ = pₙ × (1/n) 이고 pₙ → 2πr, 1/n → 0 이므로 sₙ → 0D1, A1, A15, A11, A14
(4)(sₙ/2)² → 0(3), A11
(5)aₙ² = r² − (sₙ/2)² → r²(2), (4), A11, A14
(6)aₙ ≥ 0 이므로 aₙ → r(5), A12
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정리 T
반지름이 r 인 원판의 넓이는 K = πr²
증명.
(1)[Iₙ] = ½ aₙ pₙ → ½ × r × 2πr = πr²L2, L3, A1, A11, A14
(2)[Cₙ] = ½ r qₙ → ½ × r × 2πr = πr²L2, A1, A11, A14
(3)모든 n 에 대하여 [Iₙ] ≤ K ≤ [Cₙ]L1
(4)K = πr²(1), (2), (3), A13, E
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비고
A13 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
무엇을 잃는지 세어 보라. 조여지는 것과 조인 값이 넓이인 것은 같은 말인가.