정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)t = x + h 로 두면 같은 극한을 lim (t→x) [f(t) − f(x)]/(t − x) 로도 쓴다.약속
(3)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A2
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정의 D2
φ 가 u₀ 에서 연속이라는 것은 lim (u→u₀) φ(u) = φ(u₀) 라는 것이다.
증명.
ε-δ 로 옮기면, 임의의 ε > 0 에 대하여 |u − u₀| < η 이면 |φ(u) − φ(u₀)| < ε 인 η > 0 이 있다는 것이다. u = u₀ 도 포함된다 — 그때 좌변은 0 이다.A3, 약속
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정의 D3
u₀ = f(x) 로 두고, u ≠ u₀ 이면 φ(u) = [g(u) − g(u₀)]/(u − u₀), φ(u₀) = g′(u₀) 로 둔다.
증명.
(1)Δu = f(x+h) − f(x) 가 0 이 되는 h 가 있을 수 있고, 그때 [g(u) − g(u₀)]/(u − u₀) 는 정의되지 않는다.약속
(2)φ 는 그 한 점에서의 값을 g′(u₀) 로 따로 정하여 정의역을 u₀ 까지 넓힌 함수다.(1), 약속
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보조정리 L1
g 가 u₀ 에서 미분가능하면 φ 는 u₀ 에서 연속이다.
증명.
(1)u ≠ u₀ 이면 φ(u) = [g(u) − g(u₀)]/(u − u₀) 이다.D3
(2)g 가 u₀ 에서 미분가능하므로 lim (u→u₀) [g(u) − g(u₀)]/(u − u₀) = g′(u₀)가정, D1
(3)극한은 0 < |u − u₀| 인 u 만 본다. 그러므로 (2) 의 값은 φ(u₀) 를 어떻게 정하든 달라지지 않는다.A3
(4)lim (u→u₀) φ(u) = g′(u₀) = φ(u₀)(1), (2), (3), D3
(5)그러므로 φ 는 u₀ 에서 연속이다.(4), D2
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보조정리 L2
lim (h→0) w(h) = u₀ 이고 φ 가 u₀ 에서 연속이면 lim (h→0) φ(w(h)) = φ(u₀) 이다.
증명.
(1)ε > 0 이라 하자.가정
(2)φ 가 u₀ 에서 연속이므로 |u − u₀| < η 이면 |φ(u) − φ(u₀)| < ε 인 η > 0 이 있다.(1), 가정, D2
(3)lim w = u₀ 이므로 0 < |h| < δ 이면 |w(h) − u₀| < η 인 δ > 0 이 있다.(2), 가정, A3
(4)그러므로 0 < |h| < δ 이면 |φ(w(h)) − φ(u₀)| < ε 이다.(2), (3)
(5)(2) 는 w(h) = u₀ 인 h 에서도 성립한다. 연속이 아니라 극한만 있었다면 이 h 를 다룰 수 없다.(2), D2
(6)그러므로 lim (h→0) φ(w(h)) = φ(u₀) 이다.(4), (5), A3
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보조정리 L3
모든 h 에 대하여 g(f(x+h)) − g(f(x)) = φ(f(x+h)) · [f(x+h) − f(x)] 이다.
증명.
(1)f(x+h) ≠ u₀ 인 경우: φ(f(x+h)) = [g(f(x+h)) − g(u₀)] · [f(x+h) − u₀]⁻¹D3
(2)양변에 f(x+h) − u₀ 를 곱하면 φ(f(x+h)) · [f(x+h) − f(x)] = g(f(x+h)) − g(f(x))(1), E, A5, A6, A7, A8
(3)f(x+h) = u₀ 인 경우: 좌변은 g(u₀) − g(u₀) = 0 이다.A10
(4)우변은 φ(u₀) · 0 = 0 이므로 두 변이 같다.(3), A9, A10
(5)두 경우 모두 등식이 성립한다.(2), (4)
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정리 T1
f 가 x 에서 미분가능하고 g 가 u₀ = f(x) 에서 미분가능하면 g∘f 도 x 에서 미분가능하고 (g∘f)′(x) = g′(f(x)) · f′(x) 이다.
증명.
(1)f 와 g 가 각각 x, u₀ 에서 미분가능하다고 하자.가정, D1
(2)h ≠ 0 이면 [g(f(x+h)) − g(f(x))]/h = φ(f(x+h)) · [f(x+h) − f(x)]/hL3, E, A5
(3)f 는 x 에서 미분가능하므로 lim (h→0) f(x+h) = f(x) = u₀(1), A4
(4)L1 과 L2 를 w(h) = f(x+h) 에 적용하면 lim (h→0) φ(f(x+h)) = φ(u₀) = g′(u₀)(3), L1, L2, D3
(5)lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h = f′(x)(1), D1
(6)(2) 의 양변에 극한을 취하면 lim (h→0) [g(f(x+h)) − g(f(x))]/h = g′(u₀) · f′(x)(2), (4), (5), E, A1
(7)그러므로 (g∘f)′(x) = g′(f(x)) · f′(x) 이다.(6), D1
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