PROOF 163
증명하라.
배반사건의 덧셈정리
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
X ∩ Y = ∅ 일 때 두 사건은 배반이라 한다. 사건 A₁, …, Aₙ 은 서로 다른 두 개가 언제나 배반일 때 서로 배반이라 한다.
증명.
배반인 두 사건은 동시에 일어나지 않는다.약속
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정리 T1
A₁, …, Aₙ 이 서로 배반이면 P(A₁ ∪ ⋯ ∪ Aₙ) = P(A₁) + ⋯ + P(Aₙ)
증명.
(1)n = 2 일 때는 가법성 그 자체다.A2, D1
(2)n = k 에서 성립한다고 하자.가정
(3)B = A₁ ∪ ⋯ ∪ A_k 라 하자.약속
(4)B ∩ A_{k+1} = (A₁ ∩ A_{k+1}) ∪ ⋯ ∪ (A_k ∩ A_{k+1})(3), A4, A5
(5)각 항이 공사건이므로 B ∩ A_{k+1} = ∅ 이고, B 와 A_{k+1} 은 배반이다.(4), 가정, D1
(6)P(B ∪ A_{k+1}) = P(B) + P(A_{k+1})(5), A2
(7)P(B) = P(A₁) + ⋯ + P(A_k)(2), (3)
(8)A₁ ∪ ⋯ ∪ A_{k+1} = B ∪ A_{k+1}(3), A5
(9)P(A₁ ∪ ⋯ ∪ A_{k+1}) = P(A₁) + ⋯ + P(A_{k+1})(6), (7), (8), E
(10)귀납법에 의하여 모든 n ≥ 2 에서 성립한다.(1), (9), A3
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정리 T2
배반을 가정하지 않은 두 사건에 대하여 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
증명.
(1)A ∪ B = (A∖B) ∪ (A∩B) ∪ (B∖A) 이고 세 사건은 서로 배반이다.A6, D1
(2)P(A ∪ B) = P(A∖B) + P(A∩B) + P(B∖A)(1), T1
(3)A = (A∖B) ∪ (A∩B) 이고 두 사건은 배반이다.A7, D1
(4)P(A) = P(A∖B) + P(A∩B)(3), A2
(5)B = (A∩B) ∪ (B∖A) 이고 두 사건은 배반이다.A8, D1
(6)P(B) = P(A∩B) + P(B∖A)(5), A2
(7)P(A) + P(B) = P(A∖B) + P(A∩B) + P(B∖A) + P(A∩B)(4), (6), E
(8)P(A) + P(B) = P(A ∪ B) + P(A∩B)(2), (7), A9
(9)P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)(8), A10
(10)P(A) + P(B) 에서 P(A∩B) 가 두 번 나타난다. 빼는 항은 보정이 아니라 그 중복 그 자체다.(7), (8)
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따름정리 C1
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) 이며, 등호는 P(A ∩ B) = 0 일 때에만 성립한다.
증명.
(1)P(A ∩ B) ≥ 0A1
(2)P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)T2
(3)P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)(1), (2), A11
(4)(2) 에서 두 값의 차이는 P(A∩B) 이므로, 등호는 P(A∩B) = 0 일 때에만 성립한다.(2), (3)
(5)배반이면 A ∩ B = ∅ 이고, 이때 T2 는 가법성으로 돌아간다.(2), D1, A2
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이 편은 가법성을 n 개로 넓히고, 배반이 아닌 경우까지 넓힌다. 뿌리를 뽑으면 어디까지 남는지 확인하라.