PROOF 149
증명하라.
두 번 대칭이동하면 회전이 된다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
ℓ_θ 를 원점을 지나고 x축의 양의 방향과 각 θ 를 이루는 직선이라 한다. 두 변환을 좌표로 정한다. σ_θ(x, y) = (x cos 2θ + y sin 2θ, x sin 2θ − y cos 2θ), R_φ(x, y) = (x cos φ − y sin φ, x sin φ + y cos φ)
증명.
(1)ℓ_θ 위의 점은 실수 t 에 대하여 (t cos θ, t sin θ) 꼴이다.A3, 약속
(2)σ_θ 와 R_φ 는 아직 이름값을 하지 않는다. 지금은 두 개의 식일 뿐이다.약속
(3)σ_θ 가 ℓ_θ 에 대한 대칭이동이고 R_φ 가 각 φ 회전임은 L1 과 L2 에서 확인한다.(2), 약속
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보조정리 L1
σ_θ 는 직선 ℓ_θ 의 점을 모두 고정하고, ℓ_θ 에 수직인 방향을 반대로 보낸다.
증명.
(1)P = (t cos θ, t sin θ) 라 하면 σ_θ(P) 의 x좌표는 t(cos 2θ cos θ + sin 2θ sin θ)D1, A8, A10
(2)cos 2θ cos θ + sin 2θ sin θ = cos(2θ − θ) = cos θA1
(3)σ_θ(P) 의 y좌표는 t(sin 2θ cos θ − cos 2θ sin θ) = t sin(2θ − θ) = t sin θD1, A8, A10, A1
(4)그러므로 σ_θ(P) = P 이고, ℓ_θ 의 모든 점이 고정된다.(1), (2), (3), E
(5)Q = (cos(θ+90°), sin(θ+90°)) 는 ℓ_θ 에 수직인 방향의 점이고, 덧셈정리로 Q = (−sin θ, cos θ)A3, A1, A14, A12, 약속
(6)σ_θ(Q) 의 x좌표는 (−sin θ)cos 2θ + cos θ sin 2θ = sin 2θ cos θ − cos 2θ sin θ = sin θD1, (5), A10, A12, A1
(7)σ_θ(Q) 의 y좌표는 (−sin θ)sin 2θ − cos θ cos 2θ = −(cos 2θ cos θ + sin 2θ sin θ) = −cos θD1, (5), A10, A12, A13, A1
(8)그러므로 σ_θ(Q) = (sin θ, −cos θ) = −Q 이고 수직 방향은 뒤집힌다.(5), (6), (7), A11, A12
(9)ℓ_θ 를 고정하고 그에 수직인 방향을 뒤집으므로 σ_θ 는 ℓ_θ 에 대한 대칭이동이다.(4), (8), 약속
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보조정리 L2
R_φ 는 원점 둘레의 각 φ 회전이다.
증명.
(1)원점이 아닌 점 P 를 P = (r cos α, r sin α) 로 적는다.A3
(2)R_φ(P) 의 x좌표는 r cos α cos φ − r sin α sin φ = r(cos α cos φ − sin α sin φ) = r cos(α + φ)D1, (1), A8, A1
(3)R_φ(P) 의 y좌표는 r cos α sin φ + r sin α cos φ = r(sin α cos φ + cos α sin φ) = r sin(α + φ)D1, (1), A8, A10, A1
(4)원점에서의 거리 r 은 그대로이고 각만 φ 만큼 커진다. 그러므로 R_φ 는 원점 둘레의 각 φ 회전이다.(1), (2), (3), A3
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정리 T1
두 직선이 각 θ 로 만날 때, 두 직선에 대한 대칭이동을 이어서 하면 교점을 중심으로 하는 각 2θ 의 회전이 된다.
증명.
(1)교점을 원점으로 잡으면 두 직선은 ℓ_α 와 ℓ_β 로 적히고, 서로 다르므로 원점에서만 만난다. 사잇각은 θ = β − αA5, A7, D1
(2)σ_α(x, y) = (u, v) 라 하면 u = x cos 2α + y sin 2α, v = x sin 2α − y cos 2αD1
(3)σ_β(u, v) 의 x좌표는 u cos 2β + v sin 2β = x(cos 2α cos 2β + sin 2α sin 2β) + y(sin 2α cos 2β − cos 2α sin 2β)D1, (2), A8, A9, A10, A12
(4)cos 2α cos 2β + sin 2α sin 2β = cos(2β − 2α) = cos 2θ(1), A1, A10, A8
(5)sin 2α cos 2β − cos 2α sin 2β = sin(2α − 2β) = −sin(2β − 2α) = −sin 2θ(1), A1, A2, A8, A11, A13
(6)그러므로 x좌표는 x cos 2θ − y sin 2θ(3), (4), (5), A12, E
(7)σ_β(u, v) 의 y좌표는 u sin 2β − v cos 2β = x(cos 2α sin 2β − sin 2α cos 2β) + y(sin 2α sin 2β + cos 2α cos 2β)D1, (2), A8, A9, A10, A12, A13
(8)cos 2α sin 2β − sin 2α cos 2β = sin(2β − 2α) = sin 2θ 이고 sin 2α sin 2β + cos 2α cos 2β = cos(2β − 2α) = cos 2θ(1), A1, A10, A8
(9)그러므로 y좌표는 x sin 2θ + y cos 2θ(7), (8), E
(10)(6) 과 (9) 를 D1 의 R 과 견주면 σ_β ∘ σ_α = R_{2θ}(6), (9), D1, E
(11)그러므로 합성은 두 직선의 교점을 중심으로 하는 각 2θ 의 회전이다. 회전각은 사잇각의 두 배다.(1), (10), L2
(12)β = α 이면 2θ = 0 이고 R₀ 은 모든 점을 그대로 둔다. 같은 직선에 두 번 대칭하면 제자리로 돌아온다.(10), D1, A15
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정리 T2
두 직선이 평행하면 이어서 한 대칭이동은 회전이 아니라 평행이동이 된다.
증명.
(1)x축을 두 직선에 평행하게 잡으면 두 직선은 y = c₁, y = c₂ (c₁ ≠ c₂) 로 적힌다.A5
(2)직선 y = c 에 대한 대칭이동을 τ_c(x, y) = (x, 2c − y) 로 둔다.약속
(3)τ_c(x, c) = (x, 2c − c) = (x, c) 이므로 직선 y = c 의 점은 모두 고정된다.(2), A16, A9, A11
(4)(2c − y) − c = c − y = −(y − c) 이므로 직선에서 잰 어긋남은 부호가 뒤집힌다.(2), A16, A9, A11, A13
(5)그러므로 τ_c 는 직선 y = c 에 대한 대칭이동이다.(3), (4), 약속
(6)τ_{c₂}(τ_{c₁}(x, y)) = τ_{c₂}(x, 2c₁ − y) = (x, 2c₂ − (2c₁ − y)) = (x, y + 2(c₂ − c₁))(2), A8, A9, A10, A11, A13, E
(7)x좌표는 그대로이고 y좌표에 상수 2(c₂ − c₁) 이 더해진다. 이것은 두 직선에 수직인 방향의 평행이동이다.(6), 약속
(8)두 직선 사이의 거리는 |c₂ − c₁| 이므로 이동한 양은 그 거리의 두 배다.(1), (7), A6, A16
(9)c₁ ≠ c₂ 이므로 2(c₂ − c₁) ≠ 0 이고 고정되는 점이 하나도 없다. 회전에는 중심이 남지만 여기에는 남지 않는다.(1), (6), (7), A11, A17
(10)이 블록은 A1 을 한 번도 인용하지 않았다. 평행한 경우의 계산에는 삼각함수가 나오지 않는다.(6), (7), (8), (9)
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따름정리 C
두 번 대칭이동한 결과는 거리와 각을 보존한다.
증명.
(1)대칭이동은 거리와 각을 보존한다.A4
(2)보존하는 변환을 이어서 해도 거리와 각은 그대로다.(1), 약속
(3)평행한 두 직선의 경우 합성은 평행이동이므로, 평행이동은 거리와 각을 보존한다.(2), T2
(4)만나는 두 직선의 경우 합성은 회전이므로, 회전도 거리와 각을 보존한다.(2), T1
(5)회전과 평행이동을 따로 다룰 필요가 없다. 둘 다 대칭이동을 두 번 한 것이다.(3), (4)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 직선이 만나는 경우와 평행한 경우의 계산을 나란히 놓고, 어느 쪽에 삼각함수가 나오는지 세어 보라.