⅔몬티홀 문제 실험실

문 세 개 중 하나에 자동차. 사회자가 염소 문을 하나 열어줬습니다. 선택을 바꾸시겠어요?

바꾸면 이길 확률이 두 배가 된다. 사회자가 연 문은 우연이 아니라 정보이기 때문이다.

Experiment

직접 만져보기

🔮 예측 먼저 — 사회자가 염소 문을 열어줬습니다. 남은 문은 두 개.바꾸는 게 유리할까요?

🚪 자동차가 숨은 문 하나를 고르세요

📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾

Why

왜 필요한가

1990년, 미국의 한 잡지 칼럼에 이 문제의 답이 실렸습니다. '바꾸면 이길 확률이 두 배'라는 답에 수학 박사들까지 '틀렸다'며 항의 편지를 만 통 넘게 보냈어요.

그런데 컴퓨터로 수십만 판을 돌려보니 칼럼이 맞았습니다. 바꾸면 2/3, 안 바꾸면 1/3. 인간의 직관이 확률 앞에서 얼마나 쉽게 무너지는지 보여준 사건이에요.

핵심은 사회자가 '아는 사람'이라는 점입니다. 그는 자동차가 어디 있는지 알고, 일부러 염소 문만 엽니다. 그 행동에 정보가 실려 있어요. 정보가 확률을 옮기는 것, 이것이 조건부확률의 세계입니다.

Insight

영상에서 말한 인사이트

“사회자가 연 문은 우연이 아니라 정보다.”
아무것도 모르는 사람이 우연히 염소 문을 열었다면 정말 반반이 맞습니다. 하지만 답을 아는 사회자가 고른 문은 다르죠. '앎'이 개입한 순간 확률이 움직입니다.

“짧은 판은 운을 보여주고, 긴 판은 구조를 보여준다.”
세 판쯤 해보면 바꿔서 질 수도 있습니다. 그래서 시뮬레이션이 필요해요. 100판, 1,000판을 돌리면 운이 씻겨나가고 1/3 대 2/3라는 구조만 남습니다.

Misconception

사람들이 흔히 하는 오해

문이 두 개 남았으니 확률은 반반이다.

✓

처음 고른 문이 맞을 확률은 1/3이었습니다. 사회자가 문을 열어도 이 확률은 변하지 않아요. 나머지 2/3가 남은 한 문으로 몰릴 뿐입니다. 반반이 되려면 사회자가 아무것도 모르고 열었어야 해요.

직접 해봤는데 바꿔서 졌다. 그러니 바꾸는 건 틀린 전략이다.

✓

바꿔도 3번에 1번은 집니다. 확률 2/3는 '항상 이긴다'가 아니라 '길게 보면 두 배로 이긴다'는 뜻이에요. 짧은 몇 판은 운이고, 긴 100판이 구조를 보여줍니다.

Formula

수식으로 정리하기

게임에서 몸으로 느낀 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.

처음 선택이 맞을 확률

이 확률은 사회자가 문을 열어도 변하지 않습니다. 이미 일어난 선택이기 때문이에요.

바꿨을 때 이길 확률

처음이 틀렸을 확률 2/3가 전부 남은 한 문으로 몰립니다. 사회자가 나머지 염소 문을 치워줬기 때문이에요.

조건부확률의 언어

'~라는 정보가 주어졌을 때의 확률'을 조건부확률이라 부릅니다. 몬티홀은 이 개념이 태어나는 가장 유명한 무대예요.

In Real Life

현실에서 만나는 곳

만 통의 항의 편지

칼럼니스트 마릴린 사반트가 이 답을 썼다가 박사 1,000명을 포함한 독자들의 항의를 받았습니다. 직관이 만장일치로 틀린, 확률 역사상 가장 유명한 사건이에요.

의사의 검사 결과 읽기

'양성 판정이 나왔을 때 실제로 병일 확률'은 검사 전 확률에 따라 완전히 달라집니다. 정보가 확률을 옮기는 몬티홀의 구조와 같아요.

스무고개와 부동산 고르기

질문 하나, 조건 하나가 붙을 때마다 후보가 좁아집니다. 새 정보가 들어올 때마다 확률을 다시 계산하는 습관이 판단력이에요.

AI의 확률 갱신

스팸 필터는 단어 하나를 볼 때마다 '스팸일 확률'을 갱신합니다. 정보로 확률을 옮기는 몬티홀의 수학이 베이즈 정리로 이어진 것이에요.

Try Yourself

직접 풀어보기

Q1문이 4개이고 사회자가 염소 문을 하나 열어줍니다. 남은 두 문 중 하나로 바꾸면 이길 확률은?답 보기 ▾

처음이 맞을 확률은 1/4. 틀렸을 확률 3/4가 남은 두 문에 나뉘어 각각 3/8입니다. 바꾸면 1/4 → 3/8로 여전히 유리하지만, 문 3개일 때만큼 극적이지는 않아요.

Q2문이 100개라면? 사회자가 염소 문 98개를 열어준 뒤라면 바꿔야 할까요?답 보기 ▾

무조건 바꿔야 합니다. 내 문이 맞을 확률은 1/100 그대로이고, 남은 한 문에 99/100이 몰려 있어요. 문이 많을수록 직관도 수학 편으로 넘어옵니다.

Q3사회자가 차의 위치를 모른 채 아무 문이나 열었는데, 우연히 염소가 나왔습니다. 이때도 바꾸면 2/3일까요?답 보기 ▾

아니요, 이때는 정말 반반입니다. 사회자가 몰랐다면 그 문 열기에는 정보가 없어요. 확률을 옮기는 것은 '문이 열림'이 아니라 '아는 사람이 골라서 열었음'입니다.

💡 답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.

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긴 반복이 구조를 드러낸다는 대수의 법칙이 이 게임의 바탕이다.

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사회자의 문 열기가 왜 확률을 옮기는지, 그 수학을 정면으로 배우는 실험실.

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