여백이 부족해 못 적는다던 한 줄 메모, 358년의 추격전
3² + 4² = 5². 그럼 세제곱으로도 이런 완벽한 등식을 만들 수 있을까?
없다는 것을 증명하는 일이 수학에서 가장 긴 여행이 된다
Experiment
직접 만져보기
🎯 xⁿ + yⁿ = zⁿ이 되는 자연수를 찾아라
n을 고르고 x·y를 움직여 보세요. z가 자연수로 딱 떨어지면 성공입니다.
3² + 5² = 34
아깝다! 가장 가까운 건 6² = 36 — 오차 -2. z가 자연수로 떨어지지 않았어요.
💡 힌트: n=2에서 x=3, y=4를 넣어 보세요. (5,12)도 됩니다.
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
피타고라스의 등식 x²+y²=z²는 자연수 해가 끝없이 나옵니다. (3,4,5)도, (5,12,13)도요. 그럼 지수를 3으로 올리면 어떻게 될까요?
1637년 무렵 페르마는 책 여백에 적었습니다. 3 이상에서는 해가 없다, 놀라운 증명을 발견했으나 여백이 좁아 적지 못한다고요. 그 메모가 수학사에서 가장 긴 추격전을 열었습니다.
'있다'는 하나만 찾으면 증명이 끝납니다. '없다'는 무한히 많은 후보를 전부 배제해야 하죠. 이 비대칭이 이 문제를 358년짜리로 만들었습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“'있다'는 한 번, '없다'는 전부.”
존재의 증명은 예시 하나로 끝나지만, 부재의 증명은 무한 전체를 다뤄야 합니다. n=2에서 여러분이 해를 찾은 것과, n=3에서 수학자들이 358년을 쓴 것의 차이가 정확히 이것이에요.
“아깝게 빗나가는 것과 존재하지 않는 것은 다르다.”
6³+8³=728은 9³에서 딱 1 모자랍니다. 이렇게 아까운 근접이 무수히 있지만, 정확히 맞는 해는 단 하나도 없어요. 와일즈의 증명은 이 '단 하나도'를 무한 전체에 대해 확정했습니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
컴퓨터로 아주 큰 수까지 확인하면 증명이 된다.
아무리 큰 수까지 확인해도 '그다음 수'가 언제나 남습니다. 무한을 덮으려면 확인이 아니라 구조를 밝히는 증명이 필요해요. 그래서 358년이 걸렸습니다.
해가 안 나오는 건 아직 못 찾았기 때문이다.
n이 3 이상이면 해는 '아직 못 찾은 것'이 아니라 '존재할 수 없는 것'입니다. 와일즈의 증명이 모든 후보를 한꺼번에 배제했어요.
Formula
수식으로 정리하기
실험에서 겪은 성공(n=2)과 아까운 실패(n=3)를 그대로 기호로 적으면, 페르마가 여백에 남긴 문장이 됩니다.
피타고라스의 문 (n=2)
제곱에서는 자연수 해가 무한히 많습니다. (5,12,13), (8,15,17)처럼 끝없이 이어져요. 여러분이 슬라이더로 찾은 그 해들입니다.
페르마의 마지막 정리
지수가 3만 되어도 해는 단 하나도 없습니다. 1637년경의 추측이 1995년 와일즈의 증명으로 정리가 됐어요.
아까운 빗나감
정수 해처럼 보이는 근접은 많지만 언제나 어긋납니다. '거의 맞음'이 아무리 쌓여도 '맞음' 하나가 되지 못해요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
왜 확인이 증명이 아닌가
소프트웨어 테스트를 아무리 돌려도 버그가 '없다'는 보장이 안 되는 것과 같은 구조입니다. 전수 확인이 불가능한 곳에서는 구조적 증명이 필요해요.
부산물이 본체가 된 수학
이 문제를 쫓는 동안 대수적 수론이라는 분야가 통째로 태어났습니다. 그 도구들은 오늘날 암호학의 기반이 됐어요. 문제 하나가 수학의 지도를 다시 그렸습니다.
와일즈의 7년 (실화)
와일즈는 다락방 서재에서 7년간 비밀리에 연구해 1993년 증명을 발표했습니다. 결함이 발견되자 1년을 더 싸워 1994년에 메웠고, 1995년에 출판됐어요. 열 살에 이 문제를 만난 소년의 꿈이었습니다.
반례 하나의 힘
1769년 오일러는 페르마를 닮은 추측을 냈지만, 1966년 반례 하나(27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵)로 무너졌습니다. 수학 명제는 반례 하나면 끝이에요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
✏️ 유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
페르마의 마지막 정리가 말하는 것은 무엇일까요?
n=2, x=3, y=4일 때 z는 얼마일까요?
'해가 없다'의 증명이 '해가 있다'의 증명보다 어려운 이유는 무엇일까요?
컴퓨터로 10¹⁸까지 뒤져서 n=3의 해가 없음을 확인했습니다. 정리는 증명된 걸까요?
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