xⁿ+yⁿ · 페르마의 마지막 정리
페르마의 마지막 정리
3² + 4² = 5². 그럼 세제곱으로도 이런 완벽한 등식을 만들 수 있을까?
여백이 부족해 못 적는다던 한 줄 메모, 358년의 추격전
먼저 직접 생각해 보세요
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
xⁿ + yⁿ = zⁿ이 되는 자연수를 찾아라
n을 고르고 x·y를 움직여 보세요. z가 자연수로 딱 떨어지면 성공입니다.
3² + 5² = 34
아깝다! 가장 가까운 건 6² = 36 — 오차 -2. z가 자연수로 떨어지지 않았어요.
힌트: n=2에서 x=3, y=4를 넣어 보세요. (5,12)도 됩니다.
생각을 정리한 뒤 해설 읽기
없다는 것을 증명하는 일이 수학에서 가장 긴 여행이 된다
이 질문이 왜 필요할까요?
피타고라스의 등식 x²+y²=z²는 자연수 해가 끝없이 나옵니다. (3,4,5)도, (5,12,13)도요. 그럼 지수를 3으로 올리면 어떻게 될까요?
1637년 무렵 페르마는 책 여백에 적었습니다. 3 이상에서는 해가 없다, 놀라운 증명을 발견했으나 여백이 좁아 적지 못한다고요. 그 메모가 수학사에서 가장 긴 추격전을 열었습니다.
'있다'는 하나만 찾으면 증명이 끝납니다. '없다'는 무한히 많은 후보를 전부 배제해야 하죠. 이 비대칭이 이 문제를 358년짜리로 만들었습니다.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
어떤 수를 몇 개 넣어 봤는데 해가 없었다는 관찰과, 모든 양의 정수에서 해가 없다는 정리는 다릅니다. 이 문제의 무게는 계산할 숫자가 크다는 데만 있지 않고, 끝없는 경우 전체를 다룬다는 데 있습니다.
지수가 2이면 3²+4²=5²라는 예가 있습니다. 지수를 3으로 바꿨을 때 몇 개의 조합이 실패한다고 해서 정리가 증명되지는 않습니다. 실험에서는 바로 이 두 종류의 결론을 구분해 보세요.
'있다'는 한 번, '없다'는 전부.
존재의 증명은 예시 하나로 끝나지만, 부재의 증명은 무한 전체를 다뤄야 합니다. n=2에서 여러분이 해를 찾은 것과, n=3에서 수학자들이 358년을 쓴 것의 차이가 정확히 이것이에요.
아깝게 빗나가는 것과 존재하지 않는 것은 다르다.
6³+8³=728은 9³에서 딱 1 모자랍니다. 이렇게 아까운 근접이 무수히 있지만, 정확히 맞는 해는 단 하나도 없어요. 와일즈의 증명은 이 '단 하나도'를 무한 전체에 대해 확정했습니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
이 실험은 정리의 뜻과 유한 탐색의 한계를 설명합니다. 와일스의 증명 전체를 재현하는 과정은 아닙니다.
실험에서 겪은 성공(n=2)과 아까운 실패(n=3)를 그대로 기호로 적으면, 페르마가 여백에 남긴 문장이 됩니다.
피타고라스의 문 (n=2)
제곱에서는 자연수 해가 무한히 많습니다. (5,12,13), (8,15,17)처럼 끝없이 이어져요. 여러분이 슬라이더로 찾은 그 해들입니다.
페르마의 마지막 정리
지수가 3만 되어도 해는 단 하나도 없습니다. 1637년경의 추측이 1995년 와일즈의 증명으로 정리가 됐어요.
아까운 빗나감
정수 해처럼 보이는 근접은 많지만 언제나 어긋납니다. '거의 맞음'이 아무리 쌓여도 '맞음' 하나가 되지 못해요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
컴퓨터로 아주 큰 수까지 확인하면 증명이 된다.
아무리 큰 수까지 확인해도 '그다음 수'가 언제나 남습니다. 무한을 덮으려면 확인이 아니라 구조를 밝히는 증명이 필요해요. 그래서 358년이 걸렸습니다.
해가 안 나오는 건 아직 못 찾았기 때문이다.
n이 3 이상이면 해는 '아직 못 찾은 것'이 아니라 '존재할 수 없는 것'입니다. 와일즈의 증명이 모든 후보를 한꺼번에 배제했어요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
왜 확인이 증명이 아닌가
소프트웨어 테스트를 아무리 돌려도 버그가 '없다'는 보장이 안 되는 것과 같은 구조입니다. 전수 확인이 불가능한 곳에서는 구조적 증명이 필요해요.
부산물이 본체가 된 수학
이 문제를 쫓는 동안 대수적 수론이라는 분야가 통째로 태어났습니다. 그 도구들은 오늘날 암호학의 기반이 됐어요. 문제 하나가 수학의 지도를 다시 그렸습니다.
와일즈의 7년 (실화)
와일즈는 다락방 서재에서 7년간 비밀리에 연구해 1993년 증명을 발표했습니다. 결함이 발견되자 1년을 더 싸워 1994년에 메웠고, 1995년에 출판됐어요. 열 살에 이 문제를 만난 소년의 꿈이었습니다.
반례 하나의 힘
1769년 오일러는 페르마를 닮은 추측을 냈지만, 1966년 반례 하나(27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵)로 무너졌습니다. 수학 명제는 반례 하나면 끝이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
양의 정수라는 조건을 없애고 0을 허용하면 무엇이 달라지나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
0의 n제곱과 a의 n제곱을 더하면 a의 n제곱이 됩니다. 정리의 조건을 생략하면 이런 자명한 해가 들어옵니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 페르마의 마지막 정리가 말하는 것은 무엇일까요?
2. n=2, x=3, y=4일 때 z는 얼마일까요?
3. '해가 없다'의 증명이 '해가 있다'의 증명보다 어려운 이유는 무엇일까요?
4. 컴퓨터로 10¹⁸까지 뒤져서 n=3의 해가 없음을 확인했습니다. 정리는 증명된 걸까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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