클레이 연구소가 100만 달러를 건, 일곱 문제 중 하나
소수는 아무 규칙 없이 튀어나오는 것처럼 보인다. 정말 그럴까?
소수의 무질서 뒤에는 아직 증명되지 않은 질서가 있다
Experiment
직접 만져보기
🪜 소수 계단 π(x)를 그려 보세요
x를 밀면 계단이 자랍니다. 소수를 만날 때마다 한 칸씩 올라요.
π(50)
15
x/ln x
12.8
비율
1.17
🔍 가까이 보기 — 이웃 소수의 간격
x = 50 부근의 소수들입니다. 간격이 종잡을 수 없죠.
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
소수는 2, 3, 5, 7, 11… 종잡을 수 없는 간격으로 나타납니다. 다음 소수가 어디서 나올지 알려주는 공식은 아직 없어요.
그런데 시야를 넓히면 놀라운 일이 벌어집니다. x 이하 소수의 개수는 x/ln x라는 매끈한 곡선을 따라가요. 가우스가 소년 시절 소수표를 세다 발견한 큰 그림입니다.
1859년 리만은 그 곡선과 실제 계단의 오차가 제타 함수의 영점들로 결정된다는 것을 밝혔습니다. 영점이 모두 한 직선 위에 있다는 그의 추측이 리만 가설이에요. 167년째 아무도 증명하지 못했습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“가까이서는 무질서, 멀리서는 질서.”
이웃 소수의 간격은 2였다가 14였다가 종잡을 수 없습니다. 그런데 소수의 개수 전체는 매끈한 곡선을 따라가요. 낱알의 우연과 전체의 필연이 공존하는 것이 소수의 세계입니다.
“리만 가설은 오차의 크기를 건 내기다.”
계단과 곡선은 어긋납니다. 문제는 얼마나 어긋나느냐예요. 영점이 전부 한 직선 위에 있다면 오차는 가장 얌전하게 통제됩니다. 소수의 심장박동이 규칙적이라는 선언이죠.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
소수는 완전히 무작위라서 어떤 규칙도 없다.
낱낱의 소수는 예측이 어렵지만, 소수 전체의 개수는 x/ln x라는 매끈한 곡선을 따라갑니다. 무질서한 낱알, 질서 있는 큰 그림 — 이 이중성이 소수의 매력이에요.
리만 가설은 컴퓨터로 영점을 잔뜩 확인했으니 사실상 증명된 것이다.
수십억 개의 영점이 직선 위에서 확인됐지만, 그것은 증명이 아닙니다. 페르마의 정리처럼, 무한 전체를 덮으려면 구조를 밝히는 증명이 필요해요. 그래서 아직 미해결입니다.
Formula
수식으로 정리하기
실험에서 본 계단과 곡선을 기호로 적으면 세 줄이 됩니다. 마지막 한 줄이 100만 달러짜리예요. 셋째 줄의 수식 안쪽은 대학원 수학이지만, 뜻은 실험에서 이미 만졌습니다.
소수 세기 계단
슬라이더로 그린 그 계단입니다. 소수를 만날 때마다 한 칸 오르죠. π(10)=4 — 2, 3, 5, 7 네 개예요.
소수 정리 — 큰 그림의 질서
계단과 나란히 가던 매끈한 곡선입니다. x가 커질수록 비율이 1에 다가가요. 1896년에 증명된, 소수 세계의 큰 지도입니다.
리만 가설 (미해결)
자명하지 않은 영점은 모두 실수부 ½의 직선 위에 있다는 추측. 맞다면 계단과 곡선의 오차가 가장 작게 통제됩니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
인터넷의 자물쇠, RSA
큰 수를 소인수로 쪼개기 어렵다는 사실 위에 온라인 결제와 https가 서 있습니다. 소수의 분포를 아는 것은 이 자물쇠의 재료를 아는 일이에요.
100만 달러 현상금 (실화)
2000년 클레이 수학연구소는 일곱 개의 밀레니엄 문제에 각 100만 달러를 걸었습니다. 리만 가설이 그중 하나예요. 지금까지 풀린 것은 푸앵카레 추측 하나뿐입니다.
수백 개 정리의 운명
'리만 가설이 참이라면'으로 시작하는 정리가 수백 개 쌓여 있습니다. 증명 하나가 수학의 큰 영토를 한꺼번에 확정하는 셈이에요.
소수는 자연의 리듬
매미의 13년·17년 주기처럼 자연도 소수를 씁니다. 천적과 주기가 겹치지 않는 소수의 성질 덕분이에요. 소수의 분포는 자연을 읽는 언어이기도 합니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
✏️ 유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
π(10), 즉 10 이하의 소수는 몇 개일까요?
소수 계단을 멀리서 보면 어떤 모습일까요?
리만 가설이 통제하는 것은 무엇일까요?
컴퓨터가 수십억 개의 영점이 직선 위에 있음을 확인했습니다. 가설은 증명된 걸까요?
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Connection
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