설화로 전해지는, 왕국의 창고를 통째로 비운 쌀 한 톨
체스판을 만든 현자가 왕에게 소원을 말했다고 전해집니다. 첫 칸에 쌀 1톨, 다음 칸엔 앞 칸의 2배씩 64칸을 채워 달라고요. 왕은 소박한 소원이라며 웃었습니다. 정말 소박했을까요?
두 배의 반복은 걸음이 아니라 폭발이다.
Experiment
직접 만져보기
첫 칸엔 1톨. 다음 칸은 언제나 앞 칸의 2배입니다.
1번째 칸 · 이 칸의 쌀
1톨
≈ 0.02g
지금까지 누적
1톨
≈ 0.02g
🖐️ 손바닥 위의 몇 톨입니다.
모든 비교는 쌀 1톨 ≈ 0.02g으로 잡은 대략적인 어림입니다.
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
우리 감각은 더하기로 자랍니다. 하루에 한 걸음씩, 한 칸에 천 톨씩. 그런데 세상의 중요한 변화는 곱하기로 자라요. 이 차이를 못 느끼면 판단이 통째로 어긋납니다.
복리 이자, 전염병 확산, 데이터 증가, 반도체 성능. 전부 '지난 값에 비례해 자라는' 곱하기의 세계입니다. 지수를 몸으로 느껴본 사람만 이 뉴스를 제대로 읽어요.
천 년 넘게 전해지는 체스판 설화는 이 감각을 깨우는 가장 오래된 실험 도구입니다. 왕이 속은 자리에서 우리도 똑같이 속아 보고, 그다음에 공식을 받아들여요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“지수의 앞부분은 지루하고, 뒷부분은 재앙이다.”
처음 스무 칸은 시시합니다. 밥 한 공기도 한참 걸려요. 그래서 방심하죠. 그런데 뒷부분에서는 칸 하나 넘어갈 때마다 나라 하나의 생산량이 뒤집힙니다. 지수는 늦게 시작해서 한 번에 끝내요.
“마지막 한 칸이 앞의 예순세 칸을 전부 이긴다.”
2배씩 자라는 세계에서는 가장 최근 값이 역사 전체의 합보다 큽니다. 복리 그래프의 마지막 몇 년, 유행병의 마지막 몇 주가 무서운 이유가 이 구조예요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
2배씩 64번 해봐야 많아야 트럭 몇 대 분량이다.
우리 머리는 변화를 직선으로 어림합니다. 실제로는 마지막 칸 하나가 전 세계가 수백 년 동안 생산하는 쌀보다 많아요. 곱하기의 속도는 몸으로 겪어야 믿어집니다.
64칸의 누적 합은 마지막 칸보다 훨씬 클 것이다.
앞선 63칸을 전부 더해도 마지막 한 칸보다 적습니다. 1+2+…+2⁶² = 2⁶³−1이라서, 합은 항상 '다음 칸 하나'에 못 미쳐요. 지수의 무게는 언제나 맨 끝에 실립니다.
Formula
수식으로 정리하기
공식은 버튼을 누르며 겪은 일을 요약합니다. '다음 칸'이 곱하기 2였고, 칸 번호가 지수가 됐어요. 기호 하나하나가 실험의 조작과 짝지어집니다.
k번째 칸
첫 칸이 1톨(2⁰)이고 칸마다 2를 곱하니, k번째 칸은 2를 k−1번 곱한 수입니다. 64번째 칸은 2⁶³톨이에요.
전체 합
64칸을 전부 더한 값입니다. 약 1,845경 톨. 다음 칸 하나(2⁶⁴)에서 딱 1톨 모자란 수라는 것이 이 합의 비밀이에요.
72의 법칙
연 r%로 자라는 돈이 2배가 되는 데 걸리는 시간의 어림입니다. 연 7%면 약 10년마다 2배. 체스판의 '다음 칸'이 현실에서는 이 주기예요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
복리와 대출
이자가 이자를 낳는 복리는 체스판 그 자체입니다. 연 7%면 약 10년마다 2배. 저축이면 축복이고, 갚지 않은 빚이면 재앙이에요.
전염병 확산
한 사람이 두 사람에게 옮기면 감염자는 칸을 건너는 쌀처럼 자랍니다. 유행 초기에 '겨우 수십 명'을 무시하면 안 되는 이유가 이 구조예요.
반도체와 데이터
'칩의 집적도는 약 2년마다 2배'라는 무어의 법칙이 수십 년간 이어졌습니다. 스마트폰이 옛 슈퍼컴퓨터를 이기게 된 것도 곱하기 2의 반복이에요.
종이접기의 벽
0.1mm 종이도 42번 접으면 두께가 2⁴²배, 어림잡아 달까지 닿는 높이가 됩니다. 물론 실제로는 몇 번 만에 접을 수 없게 되죠. 지수는 물리적 한계에 금방 부딪힙니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
✏️ 유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
64칸의 쌀을 전부 더한 합을 한 식으로 쓰면 무엇일까요?
연못의 수련이 매일 2배로 늘어 30일째에 연못을 다 덮습니다. 절반을 덮는 날은 언제일까요?
체스판 5번째 칸에는 쌀이 몇 톨 놓일까요?
연 7% 복리로 돈이 2배가 되는 데 약 몇 년이 걸릴까요? (72의 법칙)
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