23 · 생일 문제
생일 문제
한 반에 몇 명이 모이면 생일이 같은 두 사람이 나올까요? 생일은 365가지나 되니 꽤 많이 필요할 것 같습니다. 직접 실험해 보면 생각이 달라져요.
겨우 23명이면 절반을 넘는, 생일이 겹칠 확률
먼저 직접 생각해 보세요
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
생일이 겹칠 확률 (누구든 두 사람)
아직 절반 아래예요. 슬라이더를 올려 보세요.
우리 반 시뮬레이션
지금 인원만큼 무작위 생일을 뽑아, 정말 겹치는지 확인합니다.
생각을 정리한 뒤 해설 읽기
생일 문제는 나의 문제가 아니라 쌍의 문제다.
이 질문이 왜 필요할까요?
확률은 직관이 가장 자주 틀리는 동네입니다. 생일 문제는 그 어긋남을 가장 극적으로 보여주는 실험이에요. 감으로 정한 답과 계산한 답이 크게 다릅니다.
겹침을 세는 일은 생일에서 끝나지 않습니다. 비밀번호, 데이터 식별번호, 암호 기술까지, '우연히 같은 값이 나올 확률'은 현대 보안의 핵심 질문이에요.
정면으로 세기 어려운 확률은 반대쪽에서 셉니다. '적어도 한 쌍'이 어려우면 '한 쌍도 없음'을 계산해요. 이 여사건 기술이 이 실험실의 두 번째 선물입니다.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
이 문제는 내 생일과 같은 사람이 있는지를 묻지 않습니다. 방 안의 누군가 둘이 같은 생일인지 묻습니다. 비교 대상을 한 사람에서 모든 두 사람의 짝으로 바꾸면, 세어야 할 기회가 생각보다 많아집니다.
세 사람 A, B, C가 있으면 비교할 짝은 AB, AC, BC로 세 개입니다. 네 사람이면 여섯 개가 됩니다. 계산할 때는 이 짝들을 독립이라고 놓고 더하지 않고, 생일이 모두 다른 경우의 확률을 먼저 구합니다.
내 눈은 사람을 세고, 확률은 쌍을 센다.
23명은 적어 보이지만, 두 사람씩 짝지으면 253쌍입니다. 겹침의 기회는 사람 수가 아니라 쌍의 수를 타고 자라요. 주인공 자리에서 내려와야 확률이 보입니다.
'적어도 하나'가 어려우면 '하나도 없음'을 세라.
겹치는 경우는 종류가 너무 많아 정면으로 세기 어렵습니다. 반대쪽인 '모두 다른 경우'는 곱셈 한 줄이에요. 1에서 빼면 답이 나옵니다. 여사건은 확률의 지름길입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
각 생일이 독립이고 365일에 균등하게 분포한다고 단순화한 모형입니다. 실제 생일 분포와 윤년은 별도 문제입니다.
공식은 실험을 요약할 뿐입니다. 겹침을 정면으로 세는 대신, '모두 다를 확률'을 곱셈 사슬로 계산하고 1에서 뺍니다. 실험에서 만진 슬라이더가 여기서는 n이라는 글자가 돼요.
여사건
한 명씩 들어올 때마다 '앞 사람들과 모두 다를 확률'을 곱합니다. 그 곱을 1에서 빼면 누군가 겹칠 확률이에요.
쌍의 수
n명이 만드는 두 사람 짝의 수입니다. 23명이면 253쌍. 겹침의 기회는 이 수를 타고 자랍니다.
√N의 어림
경우의 수가 N가지일 때, 대략 1.2√N명쯤 모이면 절반 확률로 겹칩니다. N=365면 약 23명. 보안에서 해시 충돌을 어림할 때 그대로 쓰는 공식이에요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
생일이 365가지니까, 절반 확률이 되려면 183명쯤 필요하다.
그 직관은 '나와 겹칠 확률'을 계산한 것입니다. 문제가 묻는 건 '누구든 두 사람'이에요. 사람은 n명이지만 비교하는 쌍은 n(n−1)/2개라서, 기회가 훨씬 많습니다.
적은 인원에서 생일이 겹치면 우연이거나 조작이다.
시뮬레이션을 반복하면 그 인원에서도 절반쯤은 겹침이 나옵니다. 신기한 우연이 아니라, 쌍의 수가 만든 자연스러운 결과예요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
해시 충돌과 보안
컴퓨터는 파일과 비밀번호를 해시라는 값으로 요약합니다. 경우의 수가 아무리 많아도 √N 규모의 시도면 절반 확률로 충돌이 나요. 암호학자들이 '생일 공격'이라 부르는 계산입니다.
식별번호 중복
주민번호 뒷자리, 학번, 쿠폰 코드처럼 무작위로 뽑는 번호는 생각보다 빨리 겹칩니다. 번호 체계를 설계할 때 이 확률을 먼저 계산해요.
복권 번호의 재등장
당첨 조합은 수백만 가지지만, 추첨 횟수가 쌓이면 같은 조합이 다시 나올 확률이 훌쩍 자랍니다. 실제로 여러 나라 복권에서 같은 당첨 번호가 반복돼 화제가 됐어요.
우연의 착시
'같은 반에 생일 겹침', '모임에서 만난 동명이인' 같은 우연은 놀랍게 느껴지지만, 쌍으로 세면 흔한 일입니다. 뉴스의 '기막힌 우연'을 검산하는 눈이 생겨요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
같은 생일인 짝의 수와 같은 생일인 사람이 존재할 확률은 왜 다를까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
짝이 여러 개 있어도 모두 같은 한 번의 사건에 포함될 수 있습니다. 겹치는 경우를 단순히 더하면 확률을 중복해서 셉니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 50명인 학급에서 생일이 겹칠 확률은 어느 쪽에 가까울까요?
2. 23명으로 절반이 넘는 진짜 이유는 무엇일까요?
3. 10명이 만드는 두 사람 짝은 모두 몇 개일까요?
4. '나와' 생일이 같은 사람이 나올 확률이 절반을 넘으려면 약 몇 명이 필요할까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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