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n²100개의 문 실험실

100명이 지나간 뒤에도 열려 있는 문은 딱 10개

복도에 닫힌 문 100개가 있습니다. 1번 사람은 모든 문을, 2번 사람은 2의 배수 문을, 3번 사람은 3의 배수 문을 여닫아요. 100번 사람까지 지나가면, 어떤 문이 열려 있을까요?

열고 닫는 횟수의 홀짝이 문의 운명을 가른다.

Experiment

직접 만져보기

문 100개가 전부 닫혀 있습니다. 버튼을 눌러 사람을 한 명씩 보내 보세요.

아직 아무도 지나가지 않았어요.지금 열린 문 0개
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열림 닫힘 방금 여닫은 문

📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾

Why

왜 필요한가

100개의 문 문제는 '로커 문제'라는 이름으로도 불리는 수학 퍼즐의 고전입니다. 규칙은 초등학생도 아는 배수뿐인데, 결과는 아무도 바로 못 맞혀요.

이 문제의 진짜 얼굴은 여닫기가 아니라 세기입니다. 문 n을 만지는 사람은 n의 약수 번호를 가진 사람들뿐이에요. 그래서 문의 운명은 약수 개수의 홀짝으로 번역됩니다.

결과보다 번역이 남는 문제예요. '움직임의 문제'를 '개수의 문제'로 바꾸는 순간 답이 저절로 나옵니다. 복잡한 과정을 구조 하나로 압축하는 이 감각이 수학적 사고의 핵심이에요.

Insight

영상에서 말한 인사이트

“문을 잊고, 만지는 사람을 세라.”

문 n 앞에 서는 사람은 n을 나눠떨어뜨리는 번호의 사람들, 즉 n의 약수들입니다. 100명의 행진이라는 복잡한 과정이 '약수 개수'라는 정적인 구조로 압축돼요.

“짝수 번은 원위치, 홀수 번만 흔적을 남긴다.”

열고 닫으면 없던 일이 됩니다. 만진 횟수가 짝수면 문은 처음 그대로예요. 홀수 번 만져진 문, 즉 약수가 홀수 개인 문만 열린 채 남습니다. 그게 바로 제곱수예요.

Misconception

사람들이 흔히 하는 오해

✕

많은 사람이 만지는 문일수록 열려 있을 것이다.

✓

몇 번 만졌는지는 중요하지 않습니다. 홀수 번인지 짝수 번인지만 중요해요. 닫힌 문은 짝수 번 만지면 도로 닫히고, 홀수 번 만져야 열린 채 남습니다.

✕

약수는 언제나 둘씩 짝을 이룬다.

✓

거의 그렇습니다. 12의 약수는 1×12, 2×6, 3×4로 짝이 맞아요. 하지만 16은 4×4에서 4가 자기 자신과 짝이 됩니다. 제곱수만 이렇게 짝 없는 약수를 하나 갖고, 그래서 약수 개수가 홀수가 돼요.

Formula

수식으로 정리하기

실험에서 본 것을 수식의 언어로 옮겨 봅시다. 열쇠는 '문 n을 만지는 사람 = n의 약수'라는 번역 하나입니다.

🔬 공식 해부 — 여닫기 문제가 약수 세기 문제로 번역된다

⇢ 의

번역 (만지는 사람 세기)

k번 사람이 문 n을 만지는 조건은 'n이 k의 배수', 곧 'k가 n의 약수'입니다. 움직임이 개수로 바뀌는 순간이에요.

약수의 짝짓기

약수 d를 찾으면 n÷d도 약수입니다. 약수는 이렇게 둘씩 짝을 이뤄요. 그래서 약수 개수는 보통 짝수입니다.

짝 없는 하나

제곱수에서는 √n이 자기 자신과 짝이 됩니다(4×4=16). 짝 없는 약수 하나 때문에 개수가 홀수가 되고, 그 문만 열린 채 남아요.

In Real Life

현실에서 만나는 곳

면접과 알고리즘 수업의 고전

로커 문제라는 이름으로 코딩 면접과 알고리즘 수업에 단골로 등장합니다. 시뮬레이션 없이 구조로 답하는 사람을 가려내는 문제예요.

패리티 비트 — 홀짝이 오류를 잡는다

컴퓨터 통신은 데이터에 홀짝 검사 비트 하나를 붙여 전송 오류를 잡아냅니다. '횟수는 잊고 홀짝만 본다'는 오늘의 사고가 그대로 쓰여요.

약수 개수의 공식

n을 소인수분해하면 약수 개수를 곱셈으로 셀 수 있습니다. 12 = 2²×3이면 (2+1)×(1+1) = 6개. 문 하나하나 세지 않고 구조로 세는 법이에요.

전등 스위치 퍼즐들

여러 사람이 스위치를 번갈아 누르는 퍼즐은 대부분 홀짝 논증 하나로 풀립니다. 과정이 아무리 길어도 남는 것은 홀짝뿐이에요.

Practice

풀어보기 — 유형 정복

✏️ 유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
정복 0 / 4
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문 n을 만지는 사람 수는 무엇과 같을까요?

2

100번 사람까지 다 지나간 뒤, 문 49는 어떻게 되어 있을까요?

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문이 1,000개, 사람이 1,000명이라면 마지막에 열려 있는 문은 몇 개일까요?

개
4

제곱수만 약수 개수가 홀수인 이유는 무엇일까요?

Watch

관련 유튜브 영상

100명이 지나가도 열려 있는 문 — 약수와 홀짝의 비밀영상 링크가 곧 연결될 예정입니다유튜브 채널 먼저 둘러보기 →

Connection

개념은 이어진다

이전 개념

2ⁿ−1

하노이 탑

앞 문제가 '쪼개기'였다면, 이번 문제는 '번역하기' — 문제해결의 두 번째 무기다.

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다음 개념으로 연결

gcd

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